繁體
|
簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
(檢舉)
分享
新浪微博
QQ空间
人人网
腾讯微博
Facebook
Google+
Plurk
Twitter
Line
快速注册
登录
论坛
搜索
帮助
原始风格
brown
purple
green
red
orange
gray
pink
violet
blue
greyish-green
jeans
greenwall
私人消息 (0)
公共消息 (0)
系统消息 (0)
好友消息 (0)
帖子消息 (0)
应用通知 (0)
应用邀请 (0)
悠闲数学娱乐论坛(第2版)
»
初等数学讨论
» 三角形ABC中,$\sum\frac{1}{2-\cos A}\geq 2$
返回列表
发帖
郝酒
发短消息
加为好友
郝酒
当前离线
UID
377
帖子
287
主题
108
精华
0
积分
1707
威望
1
阅读权限
90
在线时间
343 小时
注册时间
2013-10-18
最后登录
2022-6-2
1
#
跳转到
»
倒序看帖
打印
字体大小:
t
T
发表于 2018-8-19 17:02
|
只看该作者
[不等式]
三角形ABC中,$\sum\frac{1}{2-\cos A}\geq 2$
RT.
好像不能直接用琴生,先用柯西又给放过了。求助一下:)
收藏
分享
分享到:
QQ空间
腾讯微博
腾讯朋友
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
2
#
发表于 2018-8-19 18:28
|
只看该作者
《撸题集》P817~818 题目 6.2.3(不是个好证法,有空再想个好的)
TOP
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
3
#
发表于 2018-8-19 23:22
|
只看该作者
有了,设三角形三边为 `y+z`, `z+x`, `x+y`,其中 `x`, `y`, `z>0`,则由余弦定理易得
\[\cos A=1-\frac{2yz}{(x+y)(x+z)},\]
故由CS有
\begin{align*}
\sum\frac1{2-\cos A}&=\sum\frac1{1+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}}\\
&=\sum\frac{(xy+xz)^2}{(xy+xz)^2\left( 1+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)} \right)}\\
&\geqslant\frac{4(xy+yz+zx)^2}{\sum(xy+xz)^2\left( 1+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)} \right)}\\
&=\frac{4(xy+yz+zx)^2}{\sum(xy+xz)^2+\frac{2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\sum x(y+z)^3},
\end{align*}
故只需证
\begin{gather*}
2(xy+yz+zx)^2\geqslant\sum(xy+xz)^2+\frac{2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\sum x(y+z)^3,\\
2xyz(x+y+z)\geqslant\frac{2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\sum x(y+z)^3,\\
(x+y+z)(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant\sum x(y+z)^3,
\end{gather*}
展开后正好配方为
\[\sum x^2(y-z)^2\geqslant0,\]
即得证。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
TOP
返回列表
回复
发帖
[收藏此主题]
[关注此主题的新回复]
[通过 QQ、MSN 分享给朋友]