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[不等式] 三角形中求最值

$在\Delta ABC中,求sinA+sinB+5sinC的最大值。$
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有两个系数相同那就是简单题啦,一放缩即成单变量函数最值了

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回复 2# 色k

可以写写不?

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回复 3# lemondian

把前两个搞起来啊,自己动手

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回复 4# 色k

不会搞哩

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回复 5# lemondian

这题肯定是竞赛类无疑的,我觉着kuing的意思是,前两项,和差化积,丢掉 余弦,化为角C一半的单变量,之后好办了,需基本功扎实。

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本帖最后由 isee 于 2018-8-17 10:39 编辑

如果要搞大,我觉得嵌入不等式这个方向是可行的。

一些结论

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本帖最后由 郝酒 于 2018-8-17 12:12 编辑

我来写一下这个简单的情形,然后请ku版出手$p\sin A+q\sin B +r\sin C$p
,q,r>0互不相等的最大值。

$\sin A + \sin B + 5\sin C = 2\cos \frac{C}{2}\left(\cos\frac{A-B}{2}+5\sin\frac{C}{2}\right)$

因为$0<\cos\frac{C}{2}<1$,所以上式小于等于$2\cos\frac{C}{2}\left(1+5\sin\frac{C}{2}\right)$

换元令$t=\cos\frac{C}{2}\in(0,1)$即求$y=2t(1+5\sqrt{1-t^2})$的最大值,求导可得,当$t = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{1}{2} \left(\sqrt{201}+99\right)}$时,$y_\max= \frac{1}{5} \sqrt{\frac{1}{2} \left(\sqrt{201}+99\right)} \left(5 \sqrt{\frac{1}{200} \left(-\sqrt{201}-99\right)+1}+1\right)$.

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回复 8# 郝酒


这么丑,严重怀疑题中5是$\sqrt{5}$

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回复 9# isee

改成根号5也不见得好看啊,其实具体结果不重要,只要知道方法就行了

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回复 8# 郝酒

一般情况要解三次方程,参考:https://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=1948721 或《撸题集》P440 题目 4.6.19.

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回复 11# kuing
kuing这个更一般了。难度还是大了
有人说可以用柯西不等式与均值不等式来弄,想了半天,也搞不成!

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QQ截图20180817211600.jpg
2018-8-17 21:17

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回复 13# 热爱生命
谢谢!
答案很难看哩,方法正在消化中。。。

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回复 13# 热爱生命
柯西及均值不等式不错。避开了导数的高次方程!

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热爱生命 发表于 2018-8-17 21:17


这方法就将 2018年的全国卷I理科第16题也给推广了

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回复 13# 热爱生命 预测
预测这是一本不错的书,可否做一个应用。

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回复 17# 敬畏数学


    这是韩京俊的《初等不等式的证明方法》。

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