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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 一个三角形中的最小值
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发表于 2018-8-13 13:39
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[不等式]
一个三角形中的最小值
$设a,b,c为给定的三角形的三边长,在任意的\Delta ABC中,求atan\frac{A}{2}+btan\frac{B}{2}+ctan\frac{C}{2}的最小值。$
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kuing
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发表于 2018-8-13 14:49
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只看该作者
建议将题目修改一下写法,不然很容易让人误以为 `a`, `b`, `c` 为 `\triangle ABC` 的三边,毕竟这是约定俗成。
假设如下不等式
\[(ax+by+cz)^2\geqslant2k(xy+yz+zx) \quad(*)\]
对任意实数 `x`, `y`, `z` 恒成立,令 `ax=X`, `by=Y`, `cz=Z`,上式即
\[X^2+Y^2+Z^2\geqslant2\left( \frac k{ab}-1 \right)XY+2\left( \frac k{bc}-1 \right)YZ+2\left( \frac k{ca}-1 \right)ZX,\]
根据
http://kuing.orzweb.net/redirect ... =5263&pid=26005
(14楼)的结论,`k` 需满足 `0\leqslant k\leqslant2\min\{ab,bc,ca\}` 且
\[\left( \frac k{ab}-1 \right)^2+\left( \frac k{bc}-1 \right)^2+\left( \frac k{ca}-1 \right)^2+2\left( \frac k{ab}-1 \right)\left( \frac k{bc}-1 \right)\left( \frac k{ca}-1 \right)\leqslant1,\]
上式化简后为
\[2k\leqslant2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2,\]
由 `a`, `b`, `c` 构成三角形可知上式右边必为正,由 `2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2-4ab=-(a+b-c)^2\leqslant0` 可知 `2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2\leqslant4\min\{ab,bc,ca\}`,故此当 `2k=2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2` 时必能使式 (*) 恒成立,据此,我们得到如下不等式
\[(ax+by+cz)^2\geqslant(2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2)(xy+yz+zx),\]
现在,令 `x=\tan D`, `y=\tan E`, `z=\tan F`,其中 `D+E+F=\pi/2`,则 `xy+yz+zx=1`,代入即得
\[(a\tan D+b\tan E+c\tan F)^2\geqslant2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2,\]
取等懒得写。
注:其实 `a`, `b`, `c` 构成三角形的条件可以弱化一下,只需确保 `2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2` 非负即可。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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lemondian
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发表于 2018-8-13 20:07
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2#
kuing
我当初看到这题时,也觉得这样表达很别扭,但人家是这样写的,我就不改了
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