回复 5# isee
题 2 果断上三角啦……
由于题 2 与 `E` 无关,把它擦掉先。
设 `\triangle ACD` 的外接圆半径为 `R`,设 `\angle ACB=x`, $0<x<45\du$,则
\begin{align*}
AD&=2R\sin50\du,\\
CD&=2R\sin A=2R\sin2x,\\
CA&=2R\sin(2x-50\du),
\end{align*}
由张角定理有
\[\frac{\sin x}{CD}+\frac{\sin(50\du-x)}{CA}=\frac{\sin50\du}{BC}=\frac{\sin50\du}{AD},\]
所以
\begin{gather*}
\frac{\sin x}{\sin2x}+\frac{\sin(50\du-x)}{\sin(2x-50\du)}=1,\\
\frac{\sin(2x-50\du)+2\cos x\sin(50\du-x)}{2\cos x\sin(2x-50\du)}=1,\\
\frac{\sin(2x-50\du)+\sin50-\sin(2x-50\du)}{2\cos x\sin(2x-50\du)}=1,\\
2\cos x\sin(2x-50\du)=\sin50\du,\\
\sin(3x-50\du)+\sin(x-50\du)=\sin50\du,
\end{gather*}
由 $0<x<45\du$ 得 $-50\du<3x-50\du<85\du$,可见上式左边关于 `x` 是严格递增的,所以解是唯一的,而当 $x=40\du$ 时显然满足上面倒数第二条等式,所以 $x=40\du$。
注:isee 加的“(钝角三角形)”这一条件使后面变得简单,因为有了它,直接得出递增,而事实上,即使 `x` 的范围放宽到 $0<x<60\du$(即只需确保底边最大),解仍然唯一,只不过此时左边先增后减,则还需要证明 $x=60\du$ 时 `\text{左}>\text{右}` 才能证明唯一性,这些虽然说起来都是简单的,但又不能不说。 |