繁體
|
簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
(檢舉)
分享
新浪微博
QQ空间
人人网
腾讯微博
Facebook
Google+
Plurk
Twitter
Line
快速注册
登录
论坛
搜索
帮助
原始风格
brown
purple
green
red
orange
gray
pink
violet
blue
greyish-green
jeans
greenwall
私人消息 (0)
公共消息 (0)
系统消息 (0)
好友消息 (0)
帖子消息 (0)
应用通知 (0)
应用邀请 (0)
悠闲数学娱乐论坛(第2版)
»
初等数学讨论
» 三角形内外心连线与AD平行
返回列表
发帖
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
1
#
跳转到
»
发表于 2018-8-9 23:52
|
显示全部帖子
回复
2#
Tesla35
谁发现的,不知道……
上面的证明是谁的,也不知道……
TOP
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
2
#
发表于 2018-8-10 16:22
|
显示全部帖子
像上面这么巧妙的辅助线我是想不出来嘀,我只会使用...暴...力……靠着各种工具总算强行证了出来……
下面的证法中,包含了几何、坐标、向量、三角,真 TM 渣渣……
首先建立平面直角坐标系,使得外心 `O` 为原点且 `BC` 平行于 `x` 轴,不失一般性,设外接圆的半径 `R=1`,则不难得出 `A`, `I` 的坐标分别为
\begin{gather*}
A\bigl(\sin(C-B),\cos(B-C)\bigr),\\
I(\sin C-\sin B,r-\cos A),
\end{gather*}
难点是求 `D` 的坐标,正如楼主说“D点位置要怎么刻画呢?”,单靠计算不容易,所以要用点几何法。
2018-8-10 16:21
如图,其中 `I'` 为 `\triangle DEF` 的内心,则易知 `\triangle I'EF` 与 `\triangle IHG` 关于 `O` 中心对称。
易知 `AI\perp HG`,所以 `AI\perp EF`,故由 `\triangle DEF\sim\triangle ABC` 可知 `DI'\perp BC`,故此,要刻画 `D` 就只需计算 `DI'` 的长度即可,而
\[\frac{DI'}{AI}=\frac{EF}{BC}=\frac{GH}{BC}=\frac{\sin\frac{B+C}2}{\sin A}=\frac1{2\sin\frac A2},\]
所以
\[DI'=\frac{AI}{2\sin\frac A2}=\frac r{2\sin^2\frac A2},\]
这样就可以写出 `D` 的坐标了,但这里不写,用一下向量就不需要写了。
要证明 $AD\px OI$,即证 $\vv{DA}\times\vv{OI}=\bm0$,而 $\vv{DA}=\vv{OA}-\vv{OI'}-\vv{I'D}$,所以等价于证 $\bigl(\vv{OA}-\vv{I'D}\bigr)\times\vv{OI}=\bm0$,即证
\begin{gather*}
\left( \sin(C-B),\cos(B-C)-\frac r{2\sin^2\frac A2} \right)\times(\sin C-\sin B,r-\cos A)=\bm0,\\
\sin(C-B)(r-\cos A)=(\sin C-\sin B)\left( \cos(B-C)-\frac r{2\sin^2\frac A2} \right),\\
\cos\frac{B-C}2(r-\cos A)=\sin\frac A2\left( \cos(B-C)-\frac r{2\sin^2\frac A2} \right),
\end{gather*}
记 `p=\sin\frac A2`, `q=\cos\frac{B-C}2`,上式即
\[q(r-1+2p^2)=p\left( 2q^2-1-\frac r{2p^2} \right),\]
化简后即证
\[r=2p(q-p)=2\sin\frac A2\left(\cos\frac{B-C}2-\sin\frac A2\right),\]
展开后正是熟知的恒等式
\[\frac rR=4\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2,\]
即得证。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
TOP
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
3
#
发表于 2018-8-10 16:57
|
显示全部帖子
PS1、为了撸这个证明,消耗了我很多脑细胞,昨晚就开始想了,后来看到上面的几何证法,简直太难想,就想放弃了,今天起来不甘心继续想,再.暴.力也要把它撸出来,结果就成上面那样子了……
PS2、最近连撸了三道几何题,都用到了同一个恒等式 `\frac rR=4\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2`,真神奇……
TOP
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
4
#
发表于 2018-8-10 18:11
|
显示全部帖子
回复
9#
郝酒
`\angle I'EF=\frac12\angle E=\frac12\angle B=\angle IHG`,另一对角同理,所以……
TOP
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
5
#
发表于 2018-8-10 18:21
|
显示全部帖子
唔,其实不用向量也可以。
在得出 `I`, `I'` 对称、`DI'\perp BC` 以及 `DI'=\frac r{2\sin^2\frac A2}` 之后,再作两条辅助线如下图:
2018-8-10 18:21
那么要证平行就只需证 `AL=DI'`,由于直线 `OI` 的方程为
\[y=\frac{r-\cos A}{\sin C-\sin B}x,\]
故根据 `A\bigl(\sin(C-B),\cos(B-C)\bigr)` 即得
\[AL=\cos(B-C)-\frac{r-\cos A}{\sin C-\sin B}\sin(C-B)=2q^2-1-(r-1+2p^2)\frac qp,\]
其中 `p`, `q` 如 6# 所设,于是只需证明
\[\frac r{2p^2}=2q^2-1-(r-1+2p^2)\frac qp,\]
后同 6#。
这样写起来就比 6# 好一些,不过要多画点线,也不怎么划算。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
TOP
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
6
#
发表于 2018-8-10 20:46
|
显示全部帖子
唔唔,再改用几何方法来求楼上的 `AL`,这样就连坐标系也可以扔掉了,当然了,这又要多画两线了。
2018-8-10 20:46
如图,则有
\[\frac{AL}{AI}=\frac{MO}{MI}=\frac R{AM-AI}=\frac R{2R\cos\frac{B-C}2-\frac r{\sin\frac A2}},\]
而在 6# 已经有
\[\frac{DI'}{AI}=\frac1{2\sin\frac A2},\]
所以要证 `AL=DI'` 只需证
\[2R\cos\frac{B-C}2-\frac r{\sin\frac A2}=2R\sin\frac A2,\]
整理后依然还是
\[r=2R\left( \cos\frac{B-C}2-\sin\frac A2 \right)\sin\frac A2,\]
所以就OK了。
这回的改进还算划算,整个过程下来简洁了不少,连 `p`, `q` 也没了,已经比较几何化了,就差三角还没扔。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
TOP
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
7
#
发表于 2018-9-24 14:56
|
显示全部帖子
回复
14#
abababa
俩四边形相似是因为 `\triangle ABC\sim\triangle DEF` 以及 `\triangle JBC\sim\triangle JEF`,合起来便得 `ABJC\sim DEJF`,而并不是由四角对应相等得出的。
至于 $JD\px OG$ 这一点,也不难证啊,`\angle OGA=(B-C)/2=\angle IJC-\angle IJB=\angle DJA`。
我自己是这样看的,也说不定有更简单直接的理解方式。
TOP
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
8
#
发表于 2018-9-24 17:57
|
显示全部帖子
回复
16#
abababa
`BICJ` 共圆 `B/2=\angle IBC=\angle IJC`
TOP
返回列表
回复
发帖
[收藏此主题]
[关注此主题的新回复]
[通过 QQ、MSN 分享给朋友]