[不等式] 从数学研发网站摘来的不等式题，大家都不会做

TSC999

\[ a, b,c>0, a+b+c=3, 求证 \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}≥a^2+b^2+c^2\]

TSC999

此题用软件验证过，不等式是成立的。

其妙

分段讨论：当$x<2.4$时，切线法；
当$x\geqslant2.4$时，左边大于11，右边小于9
很久没做题了，不知到对不对？

kuing

老题了，除了楼上的分类切线法之外，比较简单的证法是证明加强式
\[\frac1{ab}+\frac1{bc}+\frac1{ca}\geqslant a^2+b^2+c^2,\]
去分母后就是
\[abc(a^2+b^2+c^2)\leqslant3,\]
然后可以用调整法或者均值，见《撸题集》第 889 页题目 6.7.1。

TSC999

《撸题集》第 889 页题目 6.7.1。
这个题的解答中说：由均值有 \( (ab+bc+ca)^2≥3abc(a+b+c) \)，
假如上式成立，可推出 \( \frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}≥a+b+c \)，另一方面，也是由均值不等式，\(a+b+c ≥3 \sqrt[3]{abc} \)。
所以有：
\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}≥a+b+c≥3 \sqrt[3]{abc}   \)，
这后一个“均值”是明显的(几个正数的算术平均值大于等于其几何平均值)，那么前一个“均值”是怎样来的？

isee

$$\left(\frac{bc}a+\frac{ac}b\right)+\left(\frac{ab}c+\frac{bc}a\right)+\left(\frac{ac}b+\frac{ab}c\right)\geqslant 2c+2b+2a$$

TSC999

$$\left(\frac{bc}a+\frac{ac}b\right)+\left(\frac{ab}c+\frac{bc}a\right)+\left(\frac{ac}b+\frac{ab}c\ ...
isee 发表于 2018-8-9 20:10

谢谢。看到你的答案之前，我刚刚做出来，跟你的思路一样。

TSC999

由均值有 \( (ab+bc+ca)^2≥3abc(a+b+c) \)，这个是如何推出来的？

嗯，现在我会做了。下面按照版主 Kuing 的解题方案把此题的全过程详细写下来。

TSC999

原题：\( a, b, c > 0 \) 且 \( a + b + c = 3\)，证明不等式 \(\frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2} ≥  
a^2 + b^2 + c^2 \)。
为此证明\( \frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2}≥ \frac{1}{ab} +\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{3}{abc}≥\frac{27}{(ab+bc+ca)^2} ≥ a^2 + b^2 + c^2 \)。

【1】 先证最左边。因为 \( \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} >= 2\frac{1}{ab}，\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} >= 2\frac{1}{bc}，\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}>=2\frac{1}{ca}\)，
三式相加即得 \( \frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}≥\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc} +\frac{1}{ca} \)。
【2】 再证最右边：由于\( \frac{(a b + b c + c a) + (a b + b c + c a) + (a^2 + b^2 +
      c^2)}{3}≥ \sqrt[3]{(a b + b c + c a)^2 (a^2 + b^2 + c^2)} \),
即 \( \frac{(a + b + c)^2}{3} ≥\sqrt[3]{(a b + b c + c a)^2 (a^2 + b^2 + c^2)}  \), 两边立方：

\( \frac{(a + b + c)^6}{27} ≥ (a b + b c + c a)^2 (a^2 + b^2 + c^2) \),
由于 \( a + b + c = 3\),  故 \( \frac{(a + b + c)^6}{27} =\frac{3^6}{27} = 27\)，即 \(27 ≥ (a b + b c + c a)^2 (a^2 + b^2 + c^2)\)，
所以 \( \frac{27}{(a b + b c + c a)^2}≥ a^2 + b^2 + c^2 \)。
【3】 证明 \( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{3}{abc} \)，将左边通分得 \( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} =\frac{ c + a + b}{abc}=\frac{3}{abc} \)。
【4】 最后证明 \( \frac{3}{abc}≥\frac{27}{(a b + b c + c a)^2} \)。
         先证明 \( \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}≥ a + b + c \),
   由于 \( \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}≥ 2 b,  \frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}≥ 2 a, \frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}≥ 2 c \),
        三式相加得 \( \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}≥ a + b + c \)。
上式两边同乘以\( abc \)得：\( a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 ≥ abc (a + b + c)\),
两边再加上 \( 2 a^2 b c + 2 b^2 c a + 2 c^2 a b\) 得
\( a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 + 2 a^2 b c + 2 b^2 c a + 2 c^2 a b ≥
abc (a + b + c) + 2 a^2 b c + 2 b^2 c a + 2 c^2 a b \),
即\( (a b + b c + c a)^2 ≥ abc (a + b + c) + 2 abc (a + b + c)\)，
\( (a b + b c + c a)^2 ≥ 3abc (a + b + c)\)。
将 \( a + b + c = 3 \) 代入上式得 \( (a b + b c + c a)^2 ≥ 9 a b c\) ，于是
\( \frac{1}{abc}>=\frac{9}{(a b + b c + c a)^2} \)，也就是
\( \frac{3}{abc}≥\frac{27}{(a b + b c + c a)^2} \)。
至此就证明了原不等式成立。

上面这个证明过程，全是版主 Kuing 的方案。只是版主在撸题集中是高度概括的讲述，或者说只进行了提示。故而本菜鸟试将详细过程完整写出，供众小白研究。

TSC999

上面这个证明，有没有不对的地方，或是可以简化的地方？请高手指正。

TSC999

为了从甲地走到乙地，需要穿越险恶的雪山草地，但是 kuing 经常能够曲径通幽，找到一条从甲地到丙地、再到丁地，最后抵达乙地的平坦大道。这种本领让我们感到非常神奇。