[不等式] 希望联盟不等式$\sum x_ix_j(x_i+x_j)$的最大最小值

郝酒

n是大于2的正整数，非负实数$x_1,\cdots,x_n$满足$x_1+\cdots+x_n=1$,求$\displaystyle\sum_{1\leq<i<j\leq n}x_ix_j(x_i+x_j)$的最大最小值.

kuing

最小值为零就不用说了，下面求最大值。

当有两个变量为 `1/2` 其余全为零时，原式为 `1/4`，下面证明这就是最大值。

不妨设 `x_1\leqslant x_2\leqslant\cdots\leqslant x_n`，记
\[f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j(x_i+x_j),\]
其可以整理为
\[f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=x_1x_2(x_1+x_2)+(x_1+x_2)\sum_{i=3}^nx_i^2+(x_1^2+x_2^2)\sum_{i=3}^nx_i+P,\]
其中 `P` 是与 `x_1`, `x_2` 无关的项，现在将 `(x_1,x_2)` 调整成 `(0,x_1+x_2)`，其余不变，即
\[f(0,x_1+x_2,\ldots,x_n)=(x_1+x_2)\sum_{i=3}^nx_i^2+(x_1+x_2)^2\sum_{i=3}^nx_i+P,\]
两式相减得
\[f(x_1,x_2,\ldots,x_n)-f(0,x_1+x_2,\ldots,x_n)=x_1x_2(x_1+x_2)-2x_1x_2\sum_{i=3}^nx_i,\]
由 `x_1\leqslant x_2\leqslant\cdots\leqslant x_n` 可知上式显然非正，即
\[f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\leqslant f(0,x_1+x_2,\ldots,x_n),\]
如此调整下去，最终就只需证明 `a+b=1` 时 `ab(a+b)\leqslant1/4`，显然成立，即得证。

郝酒

谢谢ku版，我还看到一种证法，说是因为$\sum x_ix_j(x_i+x_j)=\sum x_i^2 - \sum x_i^3$，然后对三次方和用柯西，即可得证。
但是不知道该怎么用柯西。大侠能不能看出来，这种解法的思路？

kuing

回复 3# 郝酒

这个方法不错，大概是酱紫吧：
\begin{align*}
\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j(x_i+x_j)&=\sum_{i=1}^nx_i^2\sum_{i=1}^nx_i-\sum_{i=1}^nx_i^3\\
&=\sum_{i=1}^nx_i^2-\sum_{i=1}^nx_i^3\sum_{i=1}^nx_i\\
&\leqslant \sum_{i=1}^nx_i^2-\left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)^2\\
&=\sum_{i=1}^nx_i^2\left(1-\sum_{i=1}^nx_i^2\right)\\
&\leqslant\frac14.
\end{align*}

PS、这个变形让我想起了《撸题集》第 425 页题目 4.6.5，书上的解法二用的也是类似于 2# 的调整法，不知以上这种纯不等式证法能不能用于那题？