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[几何] 一道对角线垂直的圆内接四边形证线段相等题目

圆的内接四边形ABCD,AC⊥BD,I是三角形ABD的内心,IE⊥BD于E,IA=IC,求证:IE=CE.
2018-08-06_163059.jpg
2018-8-6 16:47

被困扰了许久,导角吧,最后归结为证角ACD=角BCE,要证CEO共线;直接导比例吧,最后归结为要证DC+CB=2R,或者sin角DAC+sin角BAC=1.
都卡住了,愿大侠出手:)
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感觉在哪见过,等 isee, 乌贼等出手了……

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2018-08-06_211841.jpg
2018-8-6 21:19

双向延长DE交圆于P,Q,由OI是AC的中垂线,可得OI垂直PQ,所以I是PQ中点。
延长DI,BI交圆于G,F.可知GF垂直平分AI,设GF交PQ于L,由蝴蝶定理得IE=IL,进而梯形ACEL是等腰梯形,所以AL=IL=IE=CE.

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回复 2# kuing


显然竞赛题,我啃不动,3#的解答直接用了蝴蝶定理,的确是感觉在哪儿见过~

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回复 4# isee

这个证法的确很帅,有点难想,我还是想想不用辅助线的三角法好了……

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再次使用 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5513 中的三角方法。

下面将 `\triangle ABD` 的三个角 `\angle DAB`, `\angle ABD`, `\angle ADB` 简记为 `A`, `B`, `D`。

QQ截图20180807130408.png
2018-8-7 13:04


由 `IA=IC` 知 $OI\px BD$,所以
\[r=R\cos A, \quad(*)\]

\[\cos A=\frac rR=4\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac D2=2\sin\frac A2\left( \cos\frac{B-D}2-\sin\frac A2 \right),\]
化简得
\[2\sin\frac A2\cos\frac{B-D}2=1. \quad(**)\]

根据欧拉公式 `OI^2=R^2-2Rr` 得
\[OE=\sqrt{OI^2+r^2}=R-r,\]
可见要证 `IE=CE`,只需证 `C`, `E`, `O` 三点共线,即证 `\cos\angle ACO=\cos\angle IEO`,即证
\[\frac{AC}{2R}=\frac r{R-r},\]
由式 (*), (**) 得
\[\frac r{R-r}=\frac{\cos A}{1-\cos A}=\frac1{2\sin^2\frac A2}-1=2\cos^2\frac{B-D}2-1=\cos(B-D),\]
所以等价于证明
\[AC=2R\cos(B-D).\]

设 `AC` 与 `BD` 交于 `F`,则在 `\triangle ABD` 中有
\[AF=AD\sin D=2R\sin B\sin D,\]
同理在 `\triangle CBD` 中有
\[CF=2R\cos B\cos D,\]
两式相加即得 `AC=2R\cos(B-D)`,即得证。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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和那帖一样,此证明可能走了弯路,因为式 (**) 也等价于 `\cos B+\cos D=1`,很可能有巧妙方法瞬间得出来。

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回复 8# Tesla35

贴吧dang

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OIBC.jpg
2018-8-9 01:55

这TM都是啥啊。

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回复 10# Tesla35

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