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[不等式] 证明一个不等式(尽量用典型方法)

本帖最后由 TSC999 于 2018-8-4 11:04 编辑

若 \(a,b,c\) 都是非负的实数,证明下面的不等式:
\[ \frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+a} +\frac{c}{a+b} - (\frac{bc}{a^2 + b c}+\frac{ca}{b^2 + ca}+\frac{ab}{c^2 + ab})≥0 \]
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本帖最后由 TSC999 于 2018-8-4 11:12 编辑

这个题目,撸题集里面有么?
我是想以 mathematica 为工具,把左边的代数式进行变换,证明左边不小于零。这个是不用太动脑子的懒人方法。不过,既然有工具,为什么不用呢? 这方法当然不适用于考试,因为考场不让带着笔记本电脑上阵。
版主不是说了吗,为了健康,我们要远离考试。考试确实没有多大意思。

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本帖最后由 TSC999 于 2018-8-4 11:51 编辑

用 mathematica 把左边式子通分展开,得:

展开.png
2018-8-4 11:21


观察展开后的式子,分子左边一项和分母都非负数,分子右边一项是不是非负,看不出来。为此要将这部分再进行变换。

对于\( a^4 b c+a^3 (b-c)^2 (b+c)-a^2 b c (b^2+c^2)+a b c (b-c)^2 (b+c)+b^3 c^3 \) 这一项,先略去非负的 \(a^3 (b-c)^2 (b+c)\) 和 \(a b c (b-c)^2 (b+c)\),

对于剩余的 \( a^4 b c-a^2 b c (b^2+c^2)+b^3 c^3\) 项进行因式分解(也用软件进行),得:\(b c (a-b) (a+b) (a-c) (a+c)\)。

因式分解.png
2018-8-4 11:44


最后一步,注意到原式是关于 \(a,b,c\) 对称的,因此不妨设 \(a≥b≥c≥0\),于是 \( (a-b)≥0\), \( (a-c)≥0\),从而 \(b c (a-b) (a+b) (a-c) (a+c)≥0\)。

这就证明了\( a^4 b c+a^3 (b-c)^2 (b+c)-a^2 b c (b^2+c^2)+a b c (b-c)^2 (b+c)+b^3 c^3≥0\),于是原不等式成立。

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这个方法够懒了吧? 不用动多少脑子,节省了许多个脑细胞。

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题并不难,稍微动下脑也用不了多少个脑细胞。

等价于
\[\sum\frac{a^2}{a(b+c)}+\sum\frac{a^2}{a^2+bc}\geqslant3,\]
由 CS 有
\[LHS\geqslant\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}+\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca},\]
记 `p=a^2+b^2+c^2`, `q=ab+bc+ca`,上式右边化为
\[\frac{p+2q}{2q}+\frac{p+2q}{p+q}=3+\frac p{2q}+\frac{-p}{p+q}=3+\frac{p(p-q)}{2q(p+q)}\geqslant3.\]

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回复 5# kuing
版主,你这起点太高,一个跟斗十万八千里,第一步那个等价于,我琢磨了半天也没看懂。

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回复 6# TSC999

bc/(a^2+bc)=1-a^2/(a^2+bc)

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\( \frac{a^2}{a(b+c)}+\frac{b^2}{b(a+c)}+\frac{c^2}{c(a+b)}≥ \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\)

这一步是如何利用柯西不等式证明的?

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回复 8# TSC999

你自己想想。

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回复 9# kuing
这几天太热,要躲进深山修练几天,听听柯西同志讲他的公式。

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修练好了。下山发帖。

柯西变形公式.png
2018-8-6 07:13


原来有个柯西变形公式,直接套用即可。

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回复 11# TSC999

mathematica 不是可以复制成 latex 代码吗?

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回复 12# kuing


楼主应该不太用 latex 代码的

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回复 13# isee

前面不是都在用吗?

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回复  isee

前面不是都在用吗?
kuing 发表于 2018-8-6 15:38

有时会发懒,就发成图片了。另外,我认为重要的帖子,会认真做代码。

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