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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 两个不等式
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lemondian
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发表于 2018-8-2 23:32
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[不等式]
两个不等式
(1)$设是互不相等的正数,n\in\mbb{N^*},n\geqslant 2,且满足a^n-b^n=a^{n+1}-b^{n+1},则1<a+b<\dfrac{2n}{n+1} ;$
(2)$设是互不相等的正数,n\in\mbb{N^*},n\geqslant 2,且满足a^{n+1}-b^{n+1}=a^{n+2}-b^{n+2},则a^n+b^n>1;$
第(2)个好象问过了。
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发表于 2018-8-3 09:12
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先丢个链接:
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5326
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发表于 2018-8-3 22:29
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第(1)的右边,照搬 2# 链接里的方法即可,甚至更简单一些。
推广命题:给定 `t>1`,互不相等的正数 `a`, `b` 满足 `a^t-b^t=a^{t+1}-b^{t+1}`,则有
\[a+b<\frac{2t}{t+1}.\]
证明:照抄 2# 链接的部分就不再重复了,由构造 `F(x)` 开始写:
设
\[F(x)=f(x_0+x)-f(x_0-x),\quad 0<x<x_0,\]
则
\begin{align*}
F'(x)&=(t+1)(x_0+x)^t-t(x_0+x)^{t-1}+(t+1)(x_0-x)^t-t(x_0-x)^{t-1},\\
&=\bigl((t+1)(x_0+x)-t\bigr)(x_0+x)^{t-1}+\bigl((t+1)(x_0-x)-t\bigr)(x_0-x)^{t-1},
\end{align*}
注意到 `(t+1)x_0=t`,所以上式化简为
\[F'(x)=(t+1)x\bigl((x_0+x)^{t-1}-(x_0-x)^{t-1}\bigr)>0,\]
然后也是类似了,也不写了。
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发表于 2018-8-3 23:27
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感谢kuing!
不知(1)的左边与(2)能否证出?
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发表于 2018-8-4 01:37
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lemondian
左边更简单:
推广命题:设 `a`, `b>0`, `a\ne b`, `t>1` 满足 `a^t-b^t=a^{t+1}-b^{t+1}`,则有
\[1<a+b.\]
证明:设
\[h(t)=\frac{a^{t+1}-b^{t+1}}{a^t-b^t},\]
求导化简易得
\[h'(t)=-\frac {a^tb^t(a-b)(\ln a-\ln b)}{(a^t-b^t)^2}<0,\]
故由 `t>1` 得
\[1=\frac{a^{t+1}-b^{t+1}}{a^t-b^t}<\frac{a^2-b^2}{a-b}=a+b,\]
即得证。
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发表于 2018-8-4 02:07
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至于第(2),当初在 2# 链接里的时候我就感觉到推广不易,可能是个坑,果断就不撸了。
如今既然你还在弄,就想一下,结果是:那个推广当 `n=4` 就已经不成立
你不妨利用软件画个图检验一下,我就懒得写反例了。
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发表于 2018-8-4 12:49
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kuing
求导化简易得-->这个地方,我算了几次,头大了,搞不得kuing的结果哩,
递减是不会错了,如何弄出自然对数的结果来?
能写详细点么?
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发表于 2018-8-4 12:51
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kuing
我只会用几何画板与gg,不会验证当n=4是不对的!
请给个反例吧.谢谢!
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发表于 2018-8-4 13:29
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好好练习一下你的计算。
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用几何画板即可验证,提示:作 x^6-x^5 的图象。
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发表于 2018-8-4 13:44
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kuing
真心不行!
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计算也不行!
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发表于 2018-8-4 13:53
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那就没办法了。
下面再给出(2)的 `n=1`, `2`, `3` 的统一证明:
\begin{align*}
&n=1:&&a+b-\frac{a^3-b^3}{a^2-b^2}=\frac{ab}{a+b}>0\riff a+b>\frac{a^3-b^3}{a^2-b^2}=1;\\
&n=2:&&a^2+b^2-\left( \frac{a^4-b^4}{a^3-b^3} \right)^2=\frac{a^2b^2(a^2+b^2)}{(a^2+ab+b^2)^2}>0\riff a^2+b^2>\left( \frac{a^4-b^4}{a^3-b^3} \right)^2=1;\\
&n=3:&&a^3+b^3-\left( \frac{a^5-b^5}{a^4-b^4} \right)^3=\frac {a^3b^3(a^6+a^3b^3+b^6)}{(a+b)^3(a^2+b^2)^3}>0\riff a^3+b^3>\left( \frac{a^5-b^5}{a^4-b^4} \right)^3=1;
\end{align*}
注:由上述证明看出,当 `n=2` 时 `a`, `b` 的范围可以扩展到实数。
此证法秒杀 2# 链接中我的证法。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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发表于 2018-8-4 14:27
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天哪,这个运算量。。。
当n=4,那就不得了?!
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发表于 2018-8-4 14:31
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利用 11# 的方法,也可以知道 `n=4` 不成立,因为
\begin{align*}
&a^4+b^4-\left( \frac{a^6-b^6}{a^5-b^5} \right)^4\\
={}&\frac{a^4 b^4(a^{12}-2 a^{10} b^2-4 a^9 b^3-5 a^8 b^4-8 a^7 b^5-10 a^6 b^6-8 a^5 b^7-5 a^4 b^8-4 a^3 b^9-2 a^2 b^{10}+b^{12})}{(a^4+a^3 b+a^2 b^2+a b^3+b^4)^4},
\end{align*}
显然右边可正可负。
不过,我随手修改了一下,发现有
\[a^4+b^4-\left( \frac{a^7-b^7}{a^5-b^5} \right)^2=\frac{a^4 b^4 (a^4-a^2 b^2+b^4)}{(a^4+a^3 b+a^2 b^2+a b^3+b^4)^2}>0,\]
据此我们又可以构造出这样的题:互不相等的正数 `a`, `b` 满足 `a^5-b^5=a^7-b^7`,求证 `a^4+b^4>1`。
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发表于 2018-8-4 14:43
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次数高了之后,这种方法也是个坑。
再造一个:互不相等的正数 `a`, `b` 满足 `a^7-b^7=a^8-b^8`,求证 `a^5+b^5>1`。
证明就不写了。
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#13,#14这两个有规律?
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发表于 2018-8-4 17:33
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规律暂时不清楚,我是随便乱试的。
要搞个一般式出来恐怕不易,还是和当初的直觉一样,搞下去会是大坑,不玩了
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发表于 2018-8-4 18:08
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终于算出来了,哎,运算能力真的是。。。
不过我不用导数,好象也证出了这个函数是递减的了。
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发表于 2018-8-4 18:09
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好不容易才再玩出感觉了,继续玩嘛
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发表于 2018-8-4 20:43
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比如来个加的:$a,b,m,n是正实数,n>m,且满足a^n+b^n=a^m+b^m,则a^{n-m}+b^{n-m}\leqslant 2.$
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发表于 2018-8-4 20:56
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lemondian
这个简直是太简单了,相比上面那些,这个根本不值一提。
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