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[不等式] 来自减压群的一道三元轮换非齐次吓人不等式

角声寒,夜阑珊 (1608******) 20:06:51
这个不等式?
太吓人了
QQ图片20180731024005.png
2018-7-31 02:42

证明:设
\[f(x,y,z)=(x+y^2)(y+z^2)(z+x^2),\]
由轮换对称性,不妨设 `z=\min\{x,y,z\}`,因为
\[f(x,y,z)-f(y,x,z)=(x-y)(x-z)(y-z)(x+y+z-xy-yz-zx),\]
由 `x+y+z=3` 知 `xy+yz+zx\leqslant3`,故此上式可知,只需考虑 `x\geqslant y\geqslant z` 的情况即可。

因为
\begin{align*}
f(x,y+z,0)-f(x,y,z)={}&z\bigl(x^2(x-y+y^2-xz)+x(x-1)(y+y^2+z^2)\\
&+(1-z)x^2y^2+(x-y)y^2+(3x^2-yz)yz\bigr),
\end{align*}
由 `x+y+z=3` 且 `x\geqslant y\geqslant z` 知 `x\geqslant1\geqslant z`,若 `y\leqslant1` 则 `x-y+y^2-xz=(x-y)(1-y)+x(y-z)\geqslant0`,若 `y\geqslant1` 则 `x-y+y^2-xz=y(y-1)+x(1-z)\geqslant0`,由此可知上式非负,即
\[f(x,y,z)\leqslant f(x,y+z,0)=f(x,3-x,0)=\bigl(x+(3-x)^2\bigr)(3-x)x^2=g(x),\]
求导得
\[g'(x)=-x(5x^3-32x^2+72x-54),\]
解方程 `5x^3-32x^2+72x-54=0` 可得其唯一实根为
\[x=x_0=\frac{64-8\sqrt[3]{28}+\sqrt[3]{28^2}}{30}\approx1.63,\]
由此可知 `g(x)\leqslant g(x_0)`,代入化简后结果就是
\[g(x_0)=\frac{121808+8309\sqrt[3]{28}-2968\sqrt[3]{28^2}}{9375},\]
所以原不等式得证。
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