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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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发表于 2018-7-25 22:54
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[不等式]
最值问题
给定正整数$n(n\geqslant 2)$,正数数列$a_1,a_2,\cdots,a_n$,满足$a_k\geqslant a_1+a_2+\cdots+a_{k-1}(k=2,3,\cdots,n)$,求$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}$的最大值,并求取得最大值的条件.
我记得见过这题,找不到了
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kuing
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发表于 2018-7-26 03:18
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只看该作者
我好像是第一次见这题,也不难。
记 `a_n` 的前 `n` 项和为 `S_n`,条件即 `a_k\geqslant S_{k-1}`,令
\[f=\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\frac{a_3}{a_4}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n},\]
则
\begin{align*}
f&=\frac{S_1}{a_2}+\frac{S_2-S_1}{a_3}+\frac{S_3-S_2}{a_4}+\cdots+\frac{S_{n-2}-S_{n-3}}{a_{n-1}}+\frac{S_{n-1}-S_{n-2}}{a_n}\\
&=\left( \frac1{a_2}-\frac1{a_3} \right)S_1+\left( \frac1{a_3}-\frac1{a_4} \right)S_2+\cdots+\left( \frac1{a_{n-1}}-\frac1{a_n} \right)S_{n-2}+\frac{S_{n-1}}{a_n}\\
&\leqslant\left( \frac1{a_2}-\frac1{a_3} \right)a_2+\left( \frac1{a_3}-\frac1{a_4} \right)a_3+\cdots +\left( \frac1{a_{n-1}}-\frac1{a_n} \right)a_{n-1}+\frac{a_n}{a_n}\\
&=n-1-\left( \frac{a_2}{a_3}+\frac{a_3}{a_4}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n} \right)\\
&=n-1-f+\frac{a_1}{a_2}\\
&\leqslant n-f,
\end{align*}
即得 `f\leqslant n/2`,当 `a_k=S_{k-1}`,即 `S_k=2S_{k-1}`,也即 `a_k=2^{k-2}a_1`(`k=2`, `3`, \ldots, `n`)时取等。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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Infinity
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发表于 2018-7-26 11:20
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只看该作者
相当于用一下阿贝尔求和公式。
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dahool
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发表于 2018-7-28 09:33
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kuing
之前没接触过这种变换,谢谢K神!
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