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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 一个极小值问题
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发表于 2018-7-22 21:12
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[函数]
一个极小值问题
已知函数$f(x)=2(e^x-x-1)-(ax^2+x)ln(x+1)$在$x=0$处取得极小值,求实数$a$的值。
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发表于 2018-7-22 21:26
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和上次这道
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5430
有点像,不过这次好像除不了,但不断求导总可以
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发表于 2018-7-22 22:16
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通过死算可知 `f(0)=f'(0)=f''(0)=0` 恒成立且 `f'''(0)=5-6a`, `f''''(0)=12a-6`。
如果 `f'''(0)\ne0`,则:
`f''(x)` 在 `x=0` 处非极值,
`f'(x)` 在 `x=0` 处是极值,
`f(x)` 在 `x=0` 处非极值,
矛盾,所以必须 `f'''(0)=0`,即 `a=5/6`。
最后当然还需要检验一下,代入 `a=5/6`,有 `f''''(0)>0`,类似于上面的分析可知的确为极小值。
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kuing
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发表于 2018-7-22 22:28
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记 `n` 阶导数为 `f^{(n)}(x)`,一般地:
若 `f(x_0)=f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n)}(x_0)=0` 且 `f^{(n+1)}(x_0)` 为正(负),则:
`f^{(n)}(x)`, `f^{(n-2)}(x)`, `f^{(n-4)}(x)`, ……在 `x=x_0` 处非极值;
`f^{(n-1)}(x)`, `f^{(n-3)}(x)`, `f^{(n-5)}(x)`, ……在 `x=x_0` 处是极小(大)值。
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lemondian
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发表于 2018-7-23 00:20
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kuing
这个东东,蛮好用的。
请问:有出处吗?严格的证明如3#吗?
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发表于 2018-7-23 01:36
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lemondian
哪有什么出处不出处的,就是临场随手总结的小结论罢了
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发表于 2018-7-23 12:25
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kuing
Kuing出品,必属精品!若有证明过程就好了。
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发表于 2018-7-23 13:15
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lemondian
这点小东西,证明自己写
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发表于 2018-7-23 20:21
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kuing
果真有出处,怪不得眼熟!
原来是极值判定的方法:高数里面有的!今天复习了一下!
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敬畏数学
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发表于 2018-7-24 08:22
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lemondian
好像是有这么一个东西,严格证明分享一下?
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力工
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发表于 2018-7-24 08:31
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lemondian
请拍照上传吧。
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lemondian
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发表于 2018-7-24 11:14
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力工
书是图书馆看的的,当时就看了一眼,要用到高等数学的泰勒公式,没记住哩。你们网上找找吧。
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