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[函数] 一个极小值问题

已知函数$f(x)=2(e^x-x-1)-(ax^2+x)ln(x+1)$在$x=0$处取得极小值,求实数$a$的值。
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和上次这道 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5430 有点像,不过这次好像除不了,但不断求导总可以

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通过死算可知 `f(0)=f'(0)=f''(0)=0` 恒成立且 `f'''(0)=5-6a`, `f''''(0)=12a-6`。

如果 `f'''(0)\ne0`,则:
`f''(x)` 在 `x=0` 处非极值,
`f'(x)` 在 `x=0` 处是极值,
`f(x)` 在 `x=0` 处非极值,
矛盾,所以必须 `f'''(0)=0`,即 `a=5/6`。

最后当然还需要检验一下,代入 `a=5/6`,有 `f''''(0)>0`,类似于上面的分析可知的确为极小值。

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记 `n` 阶导数为 `f^{(n)}(x)`,一般地:
若 `f(x_0)=f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n)}(x_0)=0` 且 `f^{(n+1)}(x_0)` 为正(负),则:
`f^{(n)}(x)`, `f^{(n-2)}(x)`, `f^{(n-4)}(x)`, ……在 `x=x_0` 处非极值;
`f^{(n-1)}(x)`, `f^{(n-3)}(x)`, `f^{(n-5)}(x)`, ……在 `x=x_0` 处是极小(大)值。

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回复 4# kuing
这个东东,蛮好用的。
请问:有出处吗?严格的证明如3#吗?

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回复 5# lemondian

哪有什么出处不出处的,就是临场随手总结的小结论罢了

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回复 6# kuing

Kuing出品,必属精品!若有证明过程就好了。

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回复 7# lemondian

这点小东西,证明自己写

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回复 8# kuing
果真有出处,怪不得眼熟!
原来是极值判定的方法:高数里面有的!今天复习了一下!

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回复 9# lemondian 好像是有这么一个东西,严格证明分享一下?

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回复 9# lemondian
请拍照上传吧。

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回复 11# 力工

书是图书馆看的的,当时就看了一眼,要用到高等数学的泰勒公式,没记住哩。你们网上找找吧。

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