[数列] 已知$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{a_n}$，求证是正整数

郝酒

已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1,a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{a_n}$
证明对$n>1$,$\frac{2}{\sqrt{a_n^2-2}}$是正整数。

Tesla35

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    这不是贴吧那题吗。老套路。结果必是线性递推

郝酒

回复 2# Tesla35
是的，做不出来，所以问一下。
为什么一定是线性递推呢？通项公式求出来很复杂

kuing

https://tieba.baidu.com/p/1417473696

Infinity

回复 1# 郝酒


问题可以进一步挖掘出信息。
很容易看出，1楼的递推式等价为牛顿迭代法求$x^2=2$的根的迭代公式（迭代函数$\varphi(x)=x/2+1/x$），不过收敛的必要条件为$|\varphi\,'(x)|<1$，即$(x/2+1/x)'=1/2-1/x^2<1$。事实上，由均值不等式可知$x=a_n>\sqrt{2}$，因此$0<1/2-1/x^2<1/2<1$，故在$x=\sqrt{2}$的临域内取初值迭代，必将收敛到该不动点。

另一方面，通项$a_n$必为有理数，上面提示通项逐渐收敛到$\sqrt{2}$。不难猜测通项可能为$\sqrt{2}$连分数展开的渐近分数，即通项可表为既约分数形式$a_n=\frac{x_k}{y_k}$（$k$为某个渐近阶数）。
进一步，佩尔方程$x^2-Dy^2=1$的基本解($x_0,y_0$)可由$\sqrt{D}$的渐近分数获得（本问题相当于$D=2$），故($x_k,y_k$)正好就是基本解。于是$\sqrt{a_n^2-2}=\frac{\sqrt{x_k^2-2y_k^2}}{y_k}=\frac{1}{y_k}$从而可知$\frac{2}{\sqrt{a_n^2-2}}=2y_k$必为正整数，且是4的倍数，因为$y_k$为偶数。因为对于不定方程$x^2-2y^2=1$，要么$x$为奇$y$为偶，要么$x,y$均为奇数。考虑$x,y$都是奇数的情形，对不定方程继续摸4得，$(\pm1)^2-2\times(\pm1)^2\not\equiv 1\pmod{4}$，因此这种情形不可能存在。所以只能是$x$为奇数，$y$为偶数。

经检验，果不其然
前几项通项\[a_n={1,\frac{3}{2},\frac{17}{12},\frac{577}{408},\frac{665857}{470832},\cdots}\]而\[\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\cdots}}\approx\color{Blue}{1},\color{Blue}{\frac{3}{2}},\frac{7}{5},\color{Blue}{\frac{17}{12}},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\frac{239}{169},\color{Blue}{\frac{577}{408}},\frac{1393}{985},\frac{3363}{2378},\frac{8119}{5741},\frac{19601}{13860},\frac{47321}{33461},\frac{114243}{80782},\frac{275807}{195025},\color{Blue}{\frac{665857}{470832}},\cdots\]

郝酒

谢谢诸位。学习了：)

isee

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问题可以进一步挖掘出信息。
很容易看出，1楼的递推式等价为牛顿迭代法求$x^2=2$的根的迭代 ...
Infinity 发表于 2018-7-21 16:08

有意思~