免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

[不等式] 求变量的取值范围

有三个正实数 a, b, c, 它们的和是 4.5, 积是 2。证明:
(1)这三个数中至少有一个不能大于 (1+√33)/8;
(2)三个数都不能小于 0.5。
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友

此题老早以前版主 k 先生做过(见撸题集懒人版),但当时那题没有第(2)问。
期待一个精练的解法。
这类问题都可以用 mathematica 软件来做。过些日子我会贴出软件解答。

TOP

第(2)问太简单了好发……
\[\frac92=a+b+c\geqslant a+2\sqrt{bc}=a+2\sqrt {\frac2a},\]解这个不等式得
\[\frac12\leqslant a\leqslant\frac{17-\sqrt{33}}4,\]同理对 `b`, `c` 也一样。

TOP

版主果然厉害,做得好!
还有一个问题,这三个数中的最大者,最大可以取到多大的值?

TOP

回复 4# TSC999

…………我3#的上限就是了啊

TOP

回复 4# TSC999

如果真的要再加一问,则应该为:这三个数中的最大者,最可以取到多的值?

TOP

整理起来,整道题可以这样写:

已知 `a`, `b`, `c>0`, `a+b+c=9/2`, `abc=2`,证明:

(I)各变量的取值范围为 `\bigl[1/2,\bigl(17-\sqrt{33}\bigr)/4\bigr]`;

(II)`\min\{a,b,c\}\leqslant\bigl(1+\sqrt{33}\bigr)/8`;

(III)`\max\{a,b,c\}\geqslant2`。


这样:

(I)就是 3# 的,当然最好补充一下取等条件,见后;

(II)就是《撸题集(懒人版)》P50 中的;

(III)就是楼上的,其解法照搬(II)即可:
令 `a=2+x`, `b=2+y`, `c=2+z`,则
\[x+y+z+6=9/2\]且\[(2+x)(2+y)(2+z)=2,\]后者展开代入前者即得
\[2(xy+yz+zx)+xyz=0,\]
由此可得 `\max\{x,y,z\}\geqslant0`,即 `\max\{a,b,c\}\geqslant2`。

三个问题中的各个不等号的取等条件要么是 `(a,b,c)=(1/2,2,2)` 要么是 `(a,b,c)=\Bigl(\bigl(1+\sqrt{33}\bigr)/8,\bigl(1+\sqrt{33}\bigr)/8,\bigl(17-\sqrt{33}\bigr)/4\Bigr)\approx(0.84307, 0.84307, 2.81386)`。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP

回复 7# kuing
完全正确!

TOP

a=f(c) 及 b=f(c) 的图像.png
2018-7-18 20:01


如果先确定 c,并约定 a≥b,那么可以画出函数的图像如上所示。

若先给定 c 值,那么 a、b 可由下列程序计算出来:
由 c 求解 a、b 的程序.png
2018-7-18 20:27

TOP

回复 7# kuing

那么第(Ⅱ)问,解答就是《撸题集(懒人版)》P50 中的;—— 如果题目中事先没有给出 (1+√33)/8 这个值,还能照此法做吗?

TOP

回复 10# TSC999
那么第(Ⅱ)问,解答就是《撸题集(懒人版)》P50 中的;—— 如果题目中事先没有给出 (1+√33)/8 这个值,还能照此法做吗?
TSC999 发表于 2018-7-19 07:15

《撸题集(懒人版)》P50 中的原题是证明<1,那个值本来就没人事先告诉我,我是通过计算算出来的,上面的 >=2 也是。

TOP

返回列表 回复 发帖