整理起来,整道题可以这样写:
已知 `a`, `b`, `c>0`, `a+b+c=9/2`, `abc=2`,证明:
(I)各变量的取值范围为 `\bigl[1/2,\bigl(17-\sqrt{33}\bigr)/4\bigr]`;
(II)`\min\{a,b,c\}\leqslant\bigl(1+\sqrt{33}\bigr)/8`;
(III)`\max\{a,b,c\}\geqslant2`。
这样:
(I)就是 3# 的,当然最好补充一下取等条件,见后;
(II)就是《撸题集(懒人版)》P50 中的;
(III)就是楼上的,其解法照搬(II)即可:
令 `a=2+x`, `b=2+y`, `c=2+z`,则
\[x+y+z+6=9/2\]且\[(2+x)(2+y)(2+z)=2,\]后者展开代入前者即得
\[2(xy+yz+zx)+xyz=0,\]
由此可得 `\max\{x,y,z\}\geqslant0`,即 `\max\{a,b,c\}\geqslant2`。
三个问题中的各个不等号的取等条件要么是 `(a,b,c)=(1/2,2,2)` 要么是 `(a,b,c)=\Bigl(\bigl(1+\sqrt{33}\bigr)/8,\bigl(1+\sqrt{33}\bigr)/8,\bigl(17-\sqrt{33}\bigr)/4\Bigr)\approx(0.84307, 0.84307, 2.81386)`。 |