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收敛函数保号性定理的推广

本帖最后由 大一新生 于 2018-7-17 02:16 编辑

闲着无聊,把书上的定理及其推论推广了一下...

QQ截图20180717010612.png
2018-7-17 02:12
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①收敛数列保号性定理的推广:如果$\lim\limits_{n\to \infty}x_n=a$,且$a>m($或$a<m)$,那么存在正整数$N$,当$n>N$时,都有$x_n>m($或$x_n<m)$.
②推论:如果数列$\{x_n\}$从某项起有$x_n\ge m($或$x_n\le m)$,且$\lim\limits_{n\to \infty}x_n=a$,那么$a\ge m($或$a\le m)$.

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①的证明:
由$\lim\limits_{n\to \infty}x_n=a$得到$\forall\varepsilon>0,\exists N\inN_+,$当$n>N$时$,|x_n-a|<\varepsilon$即$a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon.$
令\begin{cases}f(\varepsilon)=a-\varepsilon\\g(\varepsilon)=a+\varepsilon\end{cases}
当$a>m$时$,x_n\ge\sup(f(\varepsilon))=a>m,$即$x_n>m;$
当$a<m$时$,x_n\le\inf(g(\varepsilon))=a<m,$即$x_n<m;$

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②的证明:
根据条件可得$\forall\varepsilon>0,\exists N_1\inN_+,$当$n\ge N_1$时$,x_n\ge m($或$x_n\le m),$且$\exists N_2\inN_+,$当$n\ge N_2$时$,|x_n-a|<\varepsilon,$
取$N=\max\{N_1,N_2\},$当$n>N$时$,x_n\ge m($或$x_n\le m),$且$|x_n-a|<\varepsilon$即$x_n-\varepsilon<a<x_n+\varepsilon.$
令\begin{cases}f(\varepsilon)=x_n-\varepsilon\\g(\varepsilon)=x_n+\varepsilon\end{cases}
则$a\ge\sup(f(\varepsilon))=x_n\ge m,$即$a\ge m.$
$($则$a\le\inf(g(\varepsilon))=x_n\le m,$即$a\le m.$$)$

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