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[几何] 由2018年北京卷文科第20(3)直线定向 三点共线

本帖最后由 isee 于 2018-7-16 17:45 编辑

2018年北京卷文科 第20(3)是以下题目的逆命题(即原题是以下的 反之亦成立)

题干:斜率为$k$的直线$l$与椭圆$\varGamma :\frac{x^2}3+y^2=1$有两个不同的交点$A$,$B$,设$P(-2,0)$,直线$PA$与椭圆$\varGamma $的另一个交点为$C$,直线$PB$与椭圆$\varGamma $的另一个交点为$D$.若$k=1$,求证:直线$CD$过定点$Q\left( -\frac 74,\frac 14 \right)$.反之亦成立.

发现 实际是这帖中的7楼,且我原在10楼的构图是不正确(不准确)的。
snap.png
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玩调和什么的应该是这样吧:
QQ截图20180716165553.png
2018-7-16 16:58

因为 P, D, I, B 调和,所以 P, G, N, H 调和,当 $AB\px PN$ 时 H 无穷远,此时 G 为 PN 中点,反之亦然,也就是原题的结论。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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本帖最后由 isee 于 2018-7-16 17:51 编辑

回复 2# kuing

命题的背景大约就这个样子了。

不过,我是发现若k=1,则题中$PQ$与$AB$实际是平行,伸缩变换后于是研究圆发现是顶楼连接的7#,再发现10#不准确,然后才联想到你写的2楼,不过,略不同,图不同,用的调和线束。(画几何图还是几何画板顺)

snap01.png
2018-7-16 17:44




把这些东西隐藏掉,真格解析代数计算(文科生)还是比较麻烦的...

特别是如果不告诉这个Q,解析法如何求出呢?

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原来在这里 \varGamma 也可以用……PS、还有一个 \tau 没改成 \varGamma

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回复 4# kuing

没大写的tau,顺手一个varGamma,竟然成了。。

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回复 3# isee

对解析法木有性趣……

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本帖最后由 isee 于 2018-7-17 10:14 编辑

接3楼,解析法参考如下。

设$A(x_1,y_2)$,$B(x_2,y_2)$,$C(x_3,y_3)$,$D(x_4,y_4)$,则
\begin{equation} x_i^2+3y_i^2=3,i=1,2,3,4.\tag{01}\label{eq01}\end{equation}

设直线$AB:y=x+m$($m$满足$3+1>m^2$),则$y_j=x_j+m,j=1,2$.

设直线$$PA:y=k_1(x+2),k_1=\frac{y_1}{x_1+2},$$与椭圆方程联立$y$得$$(1+3k_1^2)x^2+12k_1^2x+12k_1^2-3=0,$$于是
\begin{equation} x_1x_3=\frac{12k_1^2-3}{1+3k_1^2},\Rightarrow x_3=\frac{12k_1^2-3}{(1+3k_1^2)x_1},\tag{02}\label{eq02}\end{equation}
将\eqref{eq01}及$k_1=y_1/(x_1+2)$代入\eqref{eq02}化简整理得$$x_3=\frac{-7x_1-12}{4x_1+7}.$$于是$$C\left(\frac{-7x_1-12}{4x_1+7},\frac{y_1}{4x_1+7}\right).$$

同理得到$$D\left(\frac{-7x_2-12}{4x_2+7},\frac{y_2}{4x_2+7}\right).$$

于是
\begin{align*}
k_{CD}&=\frac{y_1/(4x_1+7)-y_2/(4x_2+7)}{(-7x_1-12)/(4x_1+7)-(-7x_2-12)/(4x_2+7)}\\[2em]
&=\frac{4x_2y_1-x_1y_2+7(x_1-x_2)}{-x_1+x_2}
\end{align*}
将$y_j=x_j+m,j=1,2$代入
\begin{align*}
k_{CD}&=\frac{4m(x_2-x_1)+7(x_1-x_2)}{-x_1+x_2}\\[2em]
&=4m-7
\end{align*}

所以$CD$直线方程为
\begin{gather*}
y-\frac{y_1}{4x_1+7}=(4m-7)\left(x-\frac{-7x_1-12}{4x_1+7}\right)\\[2em]
(4x_1+7)y-y_1=(16mx_1+28m-28x_1-49)x+(4m-7)(7x_1+12)=0\\[2em]
(16mx_1+28m-28x_1-49)x-(4x_1+7)y+28mx_1+48m-49x_1-84+x_1+m=0,\text{注意$y_1=x_1+m$即化归为$x_1,m$}\\[2em]
\color{red}{(16mx_1+28m-28x_1-49)x-(4x_1+7)y+28mx_1+49m-48x_1-84=0},\tag{03}\label{eq03}
\end{gather*}

观察\eqref{eq03},当$$x=-\frac 74,y=\frac 14$$时,恒成立,即$CD$恒过定点$(-7/4,1/4)$.

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回复 7# isee

如果 P 不在坐标轴上,前半部分的消元法恐怕就不好使了吧?比如改成 `P(-7/4,1/4)`

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本帖最后由 isee 于 2018-7-17 15:20 编辑

回复 8# kuing

的确如此,我试消$x$过,不好算。
一般情况下,怕只好平移变换了(或者上曲线系),将P变换成原点。

话说回来,仅特殊点已经在高考范围内够忙一会儿了。。。。。。

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回复 9# isee

平移应该也是没什么用的,曲线系倒是可以。

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回复 10# kuing


有空搞来学习下。
多半又是两条直线相乘的的形式喽。。

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回复 11# isee

自然是的咯。

就照我随手改的 `P(-7/4,1/4)` 来做。

设直线 `AC`, `BD`, `AB`, `CD` 的方程分别为
\begin{align*}
f_1&=k_1\left( x+\frac74 \right)-y+\frac14=0,\\
f_2&=k_2\left( x+\frac74 \right)-y+\frac14=0,\\
f_3&=x-y+m=0,\\
f_4&=ax-y+c=0,
\end{align*}
那么,曲线系
\[f_1f_2+t\cdot f_3f_4=0,\]
表示过 `A`, `B`, `C`, `D` 四点的所有二次曲线(除 `f_3f_4=0` 外),将其展开为
\begin{align*}
&16(k_1k_2+at)x^2+16(1+t)y^2-16(k_1+k_2+t+at)xy\\
&{}+4(k_1+k_2+14k_1k_2+4ct+4amt)x-4(2+7k_1+7k_2+4ct+4mt)y\\
&{}+1+7k_1+7k_2+49k_1k_2+16cmt=0,
\end{align*}
则存在 `t` 使得
\[k_1+k_2+t+at=k_1+k_2+14k_1k_2+4ct+4amt=2+7k_1+7k_2+4ct+4mt=0,\]

\[16(1+t)=3\cdot16(k_1k_2+at)=-(1+7k_1+7k_2+49k_1k_2+16cmt),\]
变量虽然多,但消元很好消(当然了,实际上我开 MMC),先消 `k_1`, `k_2`,简单的整体代入即可,化简后为
\begin{align*}
14 + 11 t - 45 a t + 12 c t + 12 a m t &= 0,\\
7 t + 7 a t - 4 c t - 4 m t - 2 &= 0,\\
-19 t + 42 a t - 12 c m t - 25 &= 0,
\end{align*}
然后消 `m` 得
\begin{align*}
14 - 6 a + 11 t - 24 a t + 21 a^2 t + 12 c t - 12 a c t &= 0,\\
6 c - 19 t + 42 a t - 21 c t - 21 a c t + 12 c^2 t - 25 &= 0,
\end{align*}
最后消 `t`,化简后得
\[(13 a - 8 c + 3) (7 a - 4 c + 1)=0,\]
如果 `7 a - 4 c + 1 = 0` 则代回去后发现 `m=2` 不符合,所以
\[13 a - 8 c + 3 = 0,\]
由此可见 `CD`: `ax-y+c=0` 必过点 `(-13/8,3/8)`。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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回复 12# kuing

这计算量也大怕人,学习了。

PS:MMC消元有现成入门的成品不?

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回复 13# isee

像12#这种消元由于简单次数低并不需要什么方法,消 k 和 m 都是手工复制粘贴然后化简的,最后消 t 是用 Solve 解其中一个然后代入另一个再 Factor 一下就出来了。
如果次数高,可以用结式 Resultant。

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回复 13# isee

其实还有一个命令叫 Eliminate,似乎就是用来消元的,但是我一直对它不太理解,因为它总是会产生多余方程,所以一直没怎么用过。

例如,就用上面的例子来讲,方程组:
  1. eqns = {k1 + k2 + t + a t == 0,
  2.   k1 + k2 + 14 k1 k2 + 4 c t + 4 a m t == 0,
  3.   2 + 7 k1 + 7 k2 + 4 c t + 4 m t == 0,
  4.   16 (1 + t) == 3*16 (k1 k2 + a t),
  5.   16 (1 + t) == -(1 + 7 k1 + 7 k2 + 49 k1 k2 + 16 c m t)};
复制代码
一共五条方程,消 k1, k2 后应该剩下三条才对,但是:
  1. Eliminate[eqns, {k1, k2}]
复制代码
却得出:
  1. 91 a == -47 + 56 c + 70 t + 4 c t - 52 m t &&
  2. c t (2 + 2 t) == 13 - 22 t + 26 m t - 35 t^2 + 26 m t^2 &&
  3. c (-22 + 12 m + 2 t) == -83 + 50 m - 35 t + 26 m t &&
  4. m (6 - 42 t) + 12 m^2 t == 11 - 37 t
复制代码
不但有一条多余,而且每一条和我上面算出来的都不同(但这不代表方程有错,实际上这和我的是同解的),可见它的消元算法应该不是简单的代入消元。

消单变量也会这样,再用上面消 m 的例子:
  1. eqns2 = {14 + 11 t - 45 a t + 12 c t + 12 a m t == 0,
  2.    7 t + 7 a t - 4 c t - 4 m t - 2 == 0,
  3.    -19 t + 42 a t - 12 c m t - 25 == 0};
  4. Eliminate[eqns2, m]
复制代码
得出:
  1. (-24 + 24 a) c == -37 - 18 a + 39 a^2 - 31 t + 18 a t -
  2.    3 a^2 t && -256 c + 64 c^2 == -339 - 230 a + 169 a^2 - 279 t +
  3.    162 a t - 27 a^2 t && c (8 + 8 t) == 3 + 13 a + 3 t + 13 a t &&
  4. a^2 t (3 + 3 t) + a (-12 - 30 t - 18 t^2) == -28 - 59 t - 31 t^2
复制代码
多了两条。

两条方程消一个变量时才得出我预期的效果:
  1. eqns3 = {14 - 6 a + 11 t - 24 a t + 21 a^2 t + 12 c t - 12 a c t == 0,
  2.     6 c - 19 t + 42 a t - 21 c t - 21 a c t + 12 c^2 t - 25 == 0};
  3. Eliminate[eqns3, t]
复制代码
得出:
  1. -3 + 20 c - 32 c^2 == 91 a^2 + a (34 - 108 c)
复制代码
再 FullSimplify[%] 一下就得到分解:
  1. (3 + 13 a - 8 c) (1 + 7 a - 4 c) == 0
复制代码
~~~

但是,如果不需要写中间过程,纯粹是要得出 a,c 的关系,那这个命令倒是好用:
  1. Eliminate[eqns, {k1, k2, m, t}]
复制代码
直接得出:
  1. -3 + 20 c - 32 c^2 == 91 a^2 + a (34 - 108 c)
复制代码
~~~

另外,为了排除其中一条等式,我们可以保留 m 不消,即:
  1. Eliminate[eqns, {k1, k2, t}]
复制代码
得出:
  1. 91 a == -213 + 100 c + 100 m - 24 c m &&
  2. c (22 - 23 m + 6 m^2) == 96 - 98 m + 25 m^2
复制代码
FullSimplify[%] 一下变成:
  1. 213 + 91 a + 4 c (-25 + 6 m) == 100 m &&
  2. (-2 + m) (48 - 25 m + c (-11 + 6 m)) == 0
复制代码
所以有个 `m=2` 的解,代回去得 1 + 7 a == 4 c,这就是要排除的,当 `m\ne2` 时:
  1. Eliminate[213 + 91 a + 4 c (-25 + 6 m) == 100 m &&
  2.   48 - 25 m + c (-11 + 6 m) == 0, m]
复制代码
即得 -3 + 8 c == 13 a。

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我是不是扯得太多了……

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本帖最后由 isee 于 2018-7-20 15:13 编辑
回复  isee

平移应该也是没什么用的,曲线系倒是可以。
kuing 发表于 2018-7-17 16:32


就8#的数据,将$P(-7/4,1/4)$(及椭圆全部)平移至原点,数据能算且还“不坏”。

(作平移变换$\left\{\begin{aligned} x'=x+\frac 74,\\y'=y-\frac 14.\end{aligned}\right. $)

以下字母为新字母,$P$,$A,\cdots$字母都对应原来的字母。

椭圆此时为$x^2+3y^3-\frac 72x+\frac 32y+\frac 14=0$,同7#同样方法计算,设PA(过原点)直线方程,求得$C\left(\frac{x_1}{8x_1-6m-1},\frac{x_1+m}{8x_1-6m-1}\right),D(\cdots)$.

这时$k_{CD}=\frac{14m+1}{6m+1}$,$CD$直线方程整理成整式为$$(-84m^2+112mx_1-20m+8x_1-1)x+(36m^2-48mx_1+12m-8x_1+1)y-8mx_1+6m^2+m=0.$$
假如过定点的话,设定点为$(x_0,y_0)$,用待定系数法求出$x_0=1/8,y_0=1/8$,结果正好与曲线系一致。

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本帖最后由 isee 于 2018-7-20 15:31 编辑

回复 16# kuing

详细照顾我这样的新手,很好的。
只是用mathematica用得极少,比如简单的如a(a+b)+2b的合并化简都要临场搜索,所以,这个慢慢消化中。

PS:之所以MMC似乎很奇怪,就是有时候是自然语言,有时候须加命令,如3x*3=9x,3!=6自然语言,而 a(a+b)要打开括号却须命令。

还有些细节,真是让人头痛,如 a(a+b)+ab 和 a(a+b)+a b 是不一样的,总之,自与非自之间就矛盾重重,,,

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回复 17# isee

噢?平移居然可以,但是平移不改变本质,那么不平移也应该可以的啊

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回复  isee

噢?平移居然可以,但是平移不改变本质,那么不平移也应该可以的啊 ...
kuing 发表于 2018-7-20 15:32

嗯,可以是可以,但计算麻烦了,平移虽然不改变本质,但可以优化计算,这也是换元的意义所在。(废话)

`x^2+3y^2=3`, `PA`: `y=k_1(x+7/4)+1/4`,消 `y` 为
\[x^2+3\left( k_1\left( x+\frac74 \right)+\frac14 \right)^2=3,\]整理为\[(1+3k_1^2)\left( x+\frac74 \right)^2+\left( -\frac72+\frac32k_1 \right)\left( x+\frac74 \right)+\frac14=0,\]得\[\left( x_1+\frac 74 \right)\left( x_3+\frac74 \right)=\frac1{4(1+3k_1^2)},\]
将 `k_1=(y_1-1/4)/(x_1+7/4)` 代入并利用 `x_1^2+3y_1^2=3` 可将其化简为
\[\left( x_1+\frac74 \right)\left( x_3+\frac74 \right)=\frac{(4x_1+7)^2}{16(14x_1-6y_1+25)}=\frac {(4x_1+7)^2}{16(8x_1-6m+25)},\]
得到
\[x_3=\frac{4x_1+7}{4(8x_1-6m+25)}-\frac74,\]
然后
\begin{align*}
y_3&=k_1\left( x_3+\frac74 \right)+\frac14\\
&=\frac{y_1-1/4}{x_1+7/4}\cdot\frac{4x_1+7}{4(8x_1-6m+25)}+\frac14\\
&=\frac{4x_1+4m-1}{4(8x_1-6m+25)}+\frac14,
\end{align*}
同理
\begin{align*}
x_4&=\frac{4x_2+7}{4(8x_2-6m+25)}-\frac74,\\
y_4&=\frac{4x_2+4m-1}{4(8x_2-6m+25)}+\frac14,
\end{align*}
因为 `CD` 的方程为
\[(y_3-y_4)x-(x_3-x_4)y+x_3y_4-x_4y_3=0,\]
不难计算出
\begin{align*}
y_3-y_4&=-\frac {(14m-27)(x_1-x_2)}{(6m-8x_1-25)(6m-8x_2-25)},\\
x_3-x_4&=-\frac {(6m-11)(x_1-x_2)}{(6m-8x_1-25)(6m-8x_2-25)},\\
x_3y_4-x_4y_3&=-\frac {(25m-48)(x_1-x_2)}{(6m-8x_1-25)(6m-8x_2-25)},
\end{align*}
于是 `CD` 的方程为
\[(14m-27)x-(6m-11)y+25m-48=0,\]即\[m (14 x-6 y+25)-27 x+11 y-48=0,\]
由此即得恒过 `(-13/8, 3/8)`。

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