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回复 20# kuing

这种计算量对你简直就是入门级的~~

当然,具体处理也灵活多变,这也解析法的长处。

很多高考题将某点平移至原点会明显简化计算……可惜的是一般都没这个意识……

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回复 21# isee

我刚才最后还计算错了,还好我决定把后面的也写完,这才发现。

后面我的计算方法和你的不太一样,我直接把 CD 关于 m 的表达式求了出来。

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本帖最后由 isee 于 2018-7-21 14:29 编辑

回复 22# kuing

更牛啊,直线系了,都

其实我也倾向于直接用CD直线的一般式,只不过,特别是文科生,更喜欢点斜式多一些,所以计算方向亦有差别。

互为补充印证,挻好的,解析法也赞。




=================================

7# 果然“处理得不干净”
对(03)
\begin{align*}
(16mx_1+28m-28x_1-49)x-(4x_1+7)y+28mx_1+49m-48x_1-84&=0\\[2em]
(4x_1(4m-7)+7(4m-7))x-(4x_1+7)y+4x_1(7m-12)+7(7m-12)&=0\\[2em]
(4x_1+7)(4m-7)x-(4x_1+7)y+(4x_1+7)(7m-12)&=0\\[2em]
(4m-7)x-y+7m-12&=0\\[2em]
-7x-y-12+m(4x+7)&=0\tag{03a}\label{eq03a}
\end{align*}
这样\eqref{eq03a}就简明多了。

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回复 23# isee

才发现你更新了这帖……

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上面的讨论是改变P点坐标,如果是这样呢:
(1)若k=2(或其它值),直线CD是否过某个定点?
(2)若(1)成立,那么P的坐标改变,直线CD是否还过定点?

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上面的讨论是改变P点坐标,如果是这样呢:
(1)若k=2(或其它值),直线CD是否过某个定点?
(2)若(1) ...
lemondian 发表于 2018-7-22 00:56

还问这样的问题说明你完全没有理解 1#~3# 所说的命题背景。

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回复 26# kuing

高等几何等东西看得难了,

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回复 17# isee
C点的坐标如何求出来呢?能写详细些就好了。

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回复 28# lemondian

有交待,与7#(有具体求法)同

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本帖最后由 lemondian 于 2018-9-10 15:10 编辑

回复 29# isee
今天再搞搞此题,是不是有这样的结论?
$斜率为k的直线l与椭圆Γ:\frac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)交于A,B两点,$
$设P(x_0,y_0),直线PA与椭圆Γ的另一个交点为C,直线PB与椭圆Γ的另一个交点为D.则直线CD过定点.$
如果命题正确,请求出定点坐标。

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回复 30# lemondian
@isee

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今天再搞搞此题,是不是有这样的结论?
$斜率为k的直线l与椭圆Γ:\frac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2} ...
lemondian 发表于 2018-9-10 15:09

可见如今你依然没理解 1#~3# 所说的命题背景。
唉,算了,还是再画一次图,就是把 2# 的图稍微变一下。
捕获.PNG
2018-9-11 16:45

如图,作切线 `PM`, `PN`,再过 `P` 作 `AB` 的平行线与 `MN`, `CD` 分别交于 `G`, `H`。

由于 `P`, `D`, `I`, `B` 调和,故 `P`, `H`, `G`, `\infty` 调和(`\infty` 表示无穷远点),所以 `H` 为 `PG` 的中点。

由于 `AB` 的斜率为定值,故显然 `G` 为定点,从而 `H` 亦为定点,所以 `CD` 过定点 `H`。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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本帖最后由 lemondian 于 2018-9-11 17:44 编辑

回复 32# kuing
@kuing:见笑了,主要是对调和不是很明白,虽说很想学一下这方面的知识,总是找借口不学。。。
我是想用高中解几的知识来求#30(一般情况下)这个定点的坐标,用isee的方法发现参数太多,没啥信心算下去。所以求助两位,看看这个定点的坐标是什么?

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回复 33# lemondian

那你可以依据 32# 的作法把 H 的坐标算出来,再验证是否符合你自己算出来的方程

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回复 34# 色k


    调和方法不懂,你可以写一个吗?

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回复 35# lemondian

。。。。。。。。。。别跟我说MN的方程你不会写

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回复 36# 色k
明白了,这个方法真好!至少运算量太太减少了!
谢谢@色K,@kuing

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回复 32# kuing
我用isee的方法验证:双曲线与抛物线也有类似的性质,不知在双曲线和抛物线中是否也可用这样的调和知识来解释?@kuing

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回复 38# lemondian

肯定是可以的,32# 的过程本来就不限于曲线类型,调和的性质在任意二次曲线上都成立。

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回复 38# lemondian

还有,P 也可以在内部,这时 MN 就不是切点弦了,而应该用一般化的描术——极线。

一般化的结论如下:

给定一条二次曲线 `\Gamma`,设 `A`, `B`, `C`, `D` 为 `\Gamma` 上不同的四点,直线 `AC`, `BD` 交于 `P`,记 `P` 关于 `\Gamma` 的极线为 `l_P`,过 `P` 作 `AB` 的平行线与 `l_P`, `CD` 分别交于 `G`, `H`,则 `H` 为 `PG` 中点。

那么,当 `P` 为定点且 `k_{AB}` 为定值时,`G` 就是定点,因而 `H` 亦为定点,即 `CD` 过定点 `H`。

注意这里没有规定 `A`, `B`, `C`, `D` 四点在 `\Gamma` 上的排列顺序,所以 `P` 在曲线内外都可以,极线 `l_P` 与 `\Gamma` 交不交都可以。

QQ截图20180912155411.png
2018-9-12 16:08
QQ截图20180912160133.png
2018-9-12 16:08
QQ截图20180912160811.png
2018-9-12 16:08
QQ截图20180912160613.png
2018-9-12 16:08
QQ截图20180912161635.png
2018-9-12 16:16


无论怎么变,`H` 都是 `PG` 的中点。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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