设直线 `AC`, `BD`, `AB`, `CD` 的方程分别为
\begin{align*}
f_1&=k_1\left( x+\frac74 \right)-y+\frac14=0,\\
f_2&=k_2\left( x+\frac74 \right)-y+\frac14=0,\\
f_3&=x-y+m=0,\\
f_4&=ax-y+c=0,
\end{align*}
那么,曲线系
\[f_1f_2+t\cdot f_3f_4=0,\]
表示过 `A`, `B`, `C`, `D` 四点的所有二次曲线(除 `f_3f_4=0` 外),将其展开为
\begin{align*}
&16(k_1k_2+at)x^2+16(1+t)y^2-16(k_1+k_2+t+at)xy\\
&{}+4(k_1+k_2+14k_1k_2+4ct+4amt)x-4(2+7k_1+7k_2+4ct+4mt)y\\
&{}+1+7k_1+7k_2+49k_1k_2+16cmt=0,
\end{align*}
则存在 `t` 使得
\[k_1+k_2+t+at=k_1+k_2+14k_1k_2+4ct+4amt=2+7k_1+7k_2+4ct+4mt=0,\]
且
\[16(1+t)=3\cdot16(k_1k_2+at)=-(1+7k_1+7k_2+49k_1k_2+16cmt),\]
变量虽然多,但消元很好消(当然了,实际上我开 MMC),先消 `k_1`, `k_2`,简单的整体代入即可,化简后为
\begin{align*}
14 + 11 t - 45 a t + 12 c t + 12 a m t &= 0,\\
7 t + 7 a t - 4 c t - 4 m t - 2 &= 0,\\
-19 t + 42 a t - 12 c m t - 25 &= 0,
\end{align*}
然后消 `m` 得
\begin{align*}
14 - 6 a + 11 t - 24 a t + 21 a^2 t + 12 c t - 12 a c t &= 0,\\
6 c - 19 t + 42 a t - 21 c t - 21 a c t + 12 c^2 t - 25 &= 0,
\end{align*}
最后消 `t`,化简后得
\[(13 a - 8 c + 3) (7 a - 4 c + 1)=0,\]
如果 `7 a - 4 c + 1 = 0` 则代回去后发现 `m=2` 不符合,所以
\[13 a - 8 c + 3 = 0,\]
由此可见 `CD`: `ax-y+c=0` 必过点 `(-13/8,3/8)`。