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[不等式] 不等式来袭!

已知非负数$a,b,c,d$的和为$1$,证明:(1)$a^2+b^2+c^2+d^2+12\sqrt{abcd}\leqslant 1$.
(2)$\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4c^2+1}+\dfrac{c}{4d^2+1}+\dfrac{d}{4a^2+1}\geqslant \dfrac{3}{4}$
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第(1)都不会就该打PP了;

第(2)可作为菊部切线法的范例:由
\[\frac1{4b^2+1}-(1-b)=\frac{b(2b-1)^2}{4b^2+1}\geqslant0,\]

\[\sum\frac a{4b^2+1}\geqslant\sum(a-ab)=1-(a+c)(b+d)\geqslant1-\left( \frac{\sum a}2 \right)^2=\frac34.\]

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回复 2# kuing

擦,那早开花了~~

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利用$ (a+b+c+d)^2=1 $,展开就直接得到不等式了。第二个局部切线法有难度啊。

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