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一些带绝对值的函数的拉普拉斯变换

\[ \int_0^{+\infty} \big|\sin(ax)\big|e^{-sx}{\rmd}x =\dfrac{a \coth\left(\dfrac{\pi s}{2a}\right)}{s^2+a^2}\]
\[ \int_0^{+\infty} \big|\cos(ax)\big|e^{-sx}{\rmd}x =\dfrac{s+a\,{\rm{csch}}\left(\dfrac{\pi s}{2a}\right)}{s^2+a^2}\]
\[ \int_0^{+\infty} x\big|\sin(ax)\big|e^{-sx}{\rmd}x =\dfrac{2\,as \coth\left(\dfrac{\pi s}{2a}\right)}{\left(s^2+a^2\right)^2}+\dfrac{\pi\,{\rm{csch}}^2\left(\dfrac{\pi s}{2a}\right)}{2\left(s^2+a^2\right)}\]
\[ \int_0^{+\infty} x\big|\cos(ax)\big|e^{-sx}{\rmd}x =\dfrac{2\,as\,{\rm{csch}}\left(\dfrac{\pi s}{2a}\right)}{\left(s^2+a^2\right)^2}+\dfrac{\pi\,\coth\left(\dfrac{\pi s}{2a}\right){\rm{csch}}\left(\dfrac{\pi s}{2a}\right)}{2\left(s^2+a^2\right)}+\dfrac{s^2-a^2}{s^2+a^2}\]
\[ \int_0^{+\infty} \big|\sin(ax^2)\big|e^{-sx}{\rmd}x =?\]
\[ \int_0^{+\infty} \big|\cos(ax^2)\big|e^{-sx}{\rmd}x =?\]
\[ \int_0^{+\infty} x\big|\sin(ax^2)\big|e^{-sx}{\rmd}x =?\]
\[ \int_0^{+\infty} x\big|\cos(ax^2)\big|e^{-sx}{\rmd}x =?\]
\[ \int_0^{+\infty} \dfrac{\big|\sin(ax)\big|}{x}e^{-sx}{\rmd}x =?\]
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