kuing

不太熟悉这些东东，看了半天总算看懂了上面的推广，下面按我自己的理解来解释一下，如有错请指出。

首先，用加表示并，乘表示交，比如等式 `X\cap(Y\cup Z)=(X\cap Y)\cup(X\cap Z)` 写成 `X(Y+Z)=XY+XZ`，即满足分配律，但是系数和幂是没用的，皆因 `X+X=X` 以及 `XX=X`，故此，比如，在展开 `(A+B)(B+C)(C+A)` 时，`A^2B` 和 `AB^2` 都为 `AB`，因此展开为 `AB+AC+BC+ABC`，又显然有 `X+XY=X`，因此最后一项是多余的，所以
\[(A+B)(B+C)(C+A)=AB+BC+CA,\]
多元也是同理的
\begin{align*}
&(A_2+A_3+\cdots+A_n)(A_1+A_3+\cdots+A_n)\cdots(A_1+A_2+\cdots+A_{n-1})\\
={}&\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}A_iA_j+\sum_{1\leqslant i<j<k\leqslant n}A_iA_jA_k+\cdots+\prod_{i=1}^nA_i,
\end{align*}
由第二个和式起的项都是多余的，所以
\[(A_2+A_3+\cdots+A_n)(A_1+A_3+\cdots+A_n)\cdots(A_1+A_2+\cdots+A_{n-1})=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}A_iA_j. \quad(*)\]

另一方面，因为 `(X+Y)(X+\overline Y)=X+XY+X\overline Y=X`，故
\begin{align*}
(A_1+A_2+\cdots+A_n)(\overline{A_1}+A_2+\cdots+A_n)&=A_2+A_3+\cdots+A_n,\\
(A_1+A_2+\cdots+A_n)(A_1+\overline{A_2}+\cdots+A_n)&=A_1+A_3+\cdots+A_n,\\
&\cdots\\
(A_1+A_2+\cdots+A_n)(A_1+A_2+\cdots+\overline{A_n})&=A_1+A_2+\cdots+A_{n-1},
\end{align*}
将它们乘起来，结合式 (*)，即
\begin{align*}
&(A_1+A_2+\cdots+A_n)(\overline{A_1}+A_2+\cdots+A_n)(A_1+\overline{A_2}+\cdots+A_n)\cdots(A_1+A_2+\cdots+\overline{A_n})\\
={}&(A_2+A_3+\cdots+A_n)(A_1+A_3+\cdots+A_n)\cdots(A_1+A_2+\cdots+A_{n-1})\\
={}&\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}A_iA_j,
\end{align*}
这就是上面的推广式。