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[不等式] 一个三元不等式的加强

本帖最后由 12673zf 于 2018-6-30 12:22 编辑

$x^2+2y^2+3z^2>=k(xy+yz+zx)$
当k=$\sqrt{3}$,是比较好证明的,但是否存在k>$\sqrt{3}$,使得对于任意实数x,y,z不等式恒成立呢?
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`k_{\max}=4\cos(\pi/9)-2`

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这类问题早就被玩烂,我也不卖关子了,直接搬 20 年前的《数学奥林匹克教程》上的过程:
QQ截图20180630181228.jpg
2018-6-30 18:24

QQ截图20180630181253.jpg
2018-6-30 18:24

QQ截图20180630181324.jpg
2018-6-30 18:24
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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回复 3# kuing


    谢谢大佬的解答,长见识了。

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本帖最后由 敬畏数学 于 2018-7-2 12:34 编辑

此题算是一个略加改编的题。其实很简单直接配方(二次)或者二次函数图像解决。或者直接猜K=2,再正之OK!解决。

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回复 5# 敬畏数学

2# 的结果表明 k=2 不成立

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回复 6# kuing
QQ截图20180702161346.jpg
2018-7-2 16:14

这个行不行呢?

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懒得看,你不信你就试试代入 x=5/2, y=z=1 看看 k=2 成不成立

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本帖最后由 lemondian 于 2018-7-2 17:30 编辑

回复 8# kuing


    这是竞赛题所给的答案,不是我做的,我没验证过,难道原答案有错?

确实如此,验证不通过!原答案有误!

那么7#的解法问题出现在哪呢?

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才想起,二次函数的法子之前在 http://kuing.orzweb.net/redirect ... =5263&pid=26005 (14楼)也写过,同样可以得出3#的结论……

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回复 9# lemondian


    题目出处是安徽2018年初赛第11题,我当时选的是x=3,y=2,z=1(尽量偏向排序不等式中的倒序),有k<20/11约为1.81,所以我猜可能没有更大的值了。

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本帖最后由 敬畏数学 于 2018-7-3 08:56 编辑

回复 5# 敬畏数学
刚才在刷一道题时,想起貌似著名不等式,x^2+y^2+z^2》2xyCOSA+2xzCOSB+2yZCOSC(A,BC为三角形内角)
,再利用著名三角恒等式cos^2A+cos^2B+cos^2c+2cosACOSBCOSC=1,得到g(k)=k^3+6k^2-24=0,且|K|《2根号2,哈哈,三次函数问根得问题,轻松导数上来,零点存在定理,(0,+∞)递增,端点值代入为负,完毕!这种套路题很流行的,多刷!

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回复 7# lemondian
运算低级错误!配方法也时OK的!

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回复 3# kuing
脑细胞强大!

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对二次型来说, 判别式法是非常好的选择, 原因是二次型的判别式仍然是二次型, 并且减少一个变元, 因此可以递推下去. 很容易求得所要的最佳值是方程$k^3+6k^2-24=0$ 的唯一正根, 大约是1.758.

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本帖最后由 敬畏数学 于 2018-7-3 11:48 编辑

回复 15# yao4015
但是此题全凭二次好像很难搞定。K=2不行。

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回复 16# 敬畏数学

k=2, 上面的不等式根本不成立. 算出来的判别式是不定的二次型.  怎么会很难搞定呢?

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回复 17# yao4015
确实是可以的。一样的。简单就是二次玩到底,最后得到:$ |k|\leqslant 2\sqrt{2},k^3+6k^2-24\geqslant 0$

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回复 15# yao4015

这个根:1.758如何求得?三次方程求解吗?

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回复 18# 敬畏数学

应该是$|k|\leqslant 2\sqrt{2},k^3+6k^2-24\leqslant 0$吧?

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