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[函数] 二次函数与一次函数同时存在小于零(应试)

本帖最后由 isee 于 2018-6-30 10:57 编辑

文科生问到的:

设函数$f(x)=x^2-ax+a+3$,$g(x)=ax-2a$.若存在$x_0\in \mathrm R$,使得$f(x_0)<0$与$g(x_0)<0$同时成立,则实数$a$的取值范围是___$a>7$____.
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本帖最后由 isee 于 2018-7-19 11:02 编辑

回复 1# isee

直接数形结合讨论。

显然$g(2)=0$且$a\ne 0$.

当$a<0$,则$f(x)$的对称轴在$y$轴的左边,$f(x)$在$(2,+\infty)$单调递增,而$f(x)>f(2)=7-a>0,g(x)<g(2)=0$,与题设不符.

当$a>0$,$x\in(-\infty,2),g(x)<g(2)=0$,则原命题等价于存在$x_0\in (-\infty,2),f(x_0)<0$.

由$\Delta=a^2-4(a+3)\geqslant 0\Rightarrow a\geqslant 6$,则$a>6$时,由韦达定理易知抛物线的两个零点$x_1<3<x_2$.

此时抛物线的对称轴$x=\frac a2>3$,画出大致图象.


p01.png
2018-7-19 10:57



于是$f(2)<f(x_1)=0\Rightarrow a>7$.

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本帖最后由 isee 于 2018-7-19 11:35 编辑

另外考虑分离参变量.

记$$h(x)=\frac{x^2+3}{x-1}=x-1+\frac 4{x-1}+2.$$

$$\exists x\in \mathrm R,f(x)<0\Rightarrow \exists x<1,a<h(x)<0;\exists x>1,a>h(x)>0.$$

对一次函数$$\exists x\in \mathrm R,g(x)=ax-2a<0\Rightarrow \exists x>2,a<0;\exists x<2,a>0.$$

同时考虑一次函数与二次函数,有$a>0,\exists 1<x<2,a>h(x)_{\min}=h(2)=7$.



哎,这两表述太糟糕了~~~

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