本帖最后由 yao4015 于 2018-6-27 13:32 编辑
回复 7# dahool
记 $h(s,t,c)=f(c+s,c+t,c)$,则 $h(0,0,1)=f(1,1,1)=0$. 注意到 $h(0,0,1)$ 恰好是 $c^3$ 的系数, 所以 $c^3$ 的系数为 0. 而 $c^2$ 项的系数也要为0, 这是为什么呢? 原因要复杂一点点.
函数 $h(s,t,1)$ 有零点 $(0,0)$ 并且在点 $(0,0)$ 的附近(邻域内)是非负的(否则我们要证的不等式不可能成立). 当 $(s,t)$ 充分接近 $(0,0)$ 时, 函数 $h(s,t,1)$ 的值由其最低次的项决定, 也就是说 $h(s,t,1)$ 关于 $s,t$ 的最低次数项需要是偶次的. 前面已经说明 $h(s,t,1)$ 关于 $s,t$ 的常数项是0(即 $h(0,0,1)$ ), 因此 $h(s,t,1)$ 关于 $s,t$ 的最低次数至少是2(上面的展开式 $f(c+s,c+t,c)$ 清楚的显示了这一点). 换句话说 $h(s,t,1)$ 关于 $s,t$ 的1次部分不出现, 系数是0. 因为 $h(s,t,c)$ 的齐次性, 反映到变元 $c$上, $c^2$ 项的系数只能是 $s,t$ 的1次式, 当然为0.
所以归根结底, $f(c+s,c+t,c)$ 中单项 $c^3,c^2$ 的系数为 0 都是因为 $(1,1,1)$ 是 $f$ 的一个内零点造成的. 这也解释了最小代换为什么对这种问题有效, 它会降低最小变元的次数至少2次. 所以这个方法对4次及以下含有零点 $(1,1,1)$ 的不等式是通用方法(4次常常需要配合计算判别式). 有兴趣的可以试一下, 那个著名的Vasc 不等式
$$(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^3b+b^3c+c^3a).$$ |