[不等式] 2018北京数学女子邀请赛不等式题

dahool

若$a,b,c\inR^+$，求证：$$a^3+b^3+c^3+2(ab^2+bc^2+ca^2)\geqslant3(a^2b+b^2c+c^2a)$$

kuing

参考《撸题集》第 1008 ~ 1009 页题目 6.10.93

dahool

回复 2# kuing


在撸题集找了好久没找到，我就觉得这类比较经典的应该能有嘛，用a^3一顿搜索操作，结果是x^3

kuing

yao4015

三次循环不等式, 可考虑最小代换 (计算量较小). 设 $c=\min\{a,b,c\}$,
则存在非负实数$s,t$满足 $a=c+s, b=c+t, s\geq 0, t\geq 0$. 令
$$f(a,b,c)=a^3+b^3+c^3+2(ab^2+bc^2+ca^2)-3(a^2b+b^2c+c^2a)$$
计算$f(c+s,c+t,c)$ 得到
  $$f(c+s,c+t,c)=2(t^2-st+s^2)c+(s^3-3s^2t+2st^2+t^3).$$
(注意到$f(1,1,1)=0$, 所以展开$f(c+s,c+t,c)$后可以断定$c^3, c^2$项前的系数都是0, 请想想为什么?
这样只需要计算关于$c$的一次项系数和常数项就行了)
剩下只需证明
$s^3-3s^2t+2st^2+t^3\geq 0. \quad (1)$
这是容易的. 分两种情况$s\geq t, t\geq s$讨论就行了.

另一种方法是考虑关于$x (0\leq x \leq \min\{a,b,c\})$ 的函数 $g(x)=f(a-x,b-x,c-x)$ .
我们会发现对固定的$a,b,c$函数$g(x)$随$x$增加值减小(计算全导数得出),  剩下只需证明边界即$x=\min\{a,b,c\}$时
不等式成立即可, 也就是归结为证明$f(a,b,0)\geq 0$, 也就是上面的(1)式.

dahool

回复 5# yao4015



感谢感谢

dahool

回复 5# yao4015

$c^3,c^2$为0，这里是为什么能直接判断？与$f(1,1,1)=0$有关？

yao4015

回复 7# dahool

记 $h(s,t,c)=f(c+s,c+t,c)$,则 $h(0,0,1)=f(1,1,1)=0$. 注意到 $h(0,0,1)$ 恰好是 $c^3$ 的系数, 所以 $c^3$ 的系数为 0. 而 $c^2$ 项的系数也要为0, 这是为什么呢? 原因要复杂一点点.

函数 $h(s,t,1)$ 有零点 $(0,0)$ 并且在点 $(0,0)$ 的附近(邻域内)是非负的(否则我们要证的不等式不可能成立). 当 $(s,t)$ 充分接近 $(0,0)$ 时, 函数 $h(s,t,1)$ 的值由其最低次的项决定, 也就是说 $h(s,t,1)$ 关于 $s,t$ 的最低次数项需要是偶次的. 前面已经说明 $h(s,t,1)$ 关于 $s,t$ 的常数项是0(即 $h(0,0,1)$ ), 因此 $h(s,t,1)$ 关于 $s,t$ 的最低次数至少是2(上面的展开式 $f(c+s,c+t,c)$ 清楚的显示了这一点).  换句话说 $h(s,t,1)$ 关于 $s,t$ 的1次部分不出现, 系数是0. 因为 $h(s,t,c)$ 的齐次性, 反映到变元 $c$上, $c^2$ 项的系数只能是 $s,t$ 的1次式, 当然为0.

所以归根结底, $f(c+s,c+t,c)$ 中单项 $c^3,c^2$ 的系数为 0 都是因为 $(1,1,1)$ 是 $f$ 的一个内零点造成的. 这也解释了最小代换为什么对这种问题有效, 它会降低最小变元的次数至少2次. 所以这个方法对4次及以下含有零点 $(1,1,1)$ 的不等式是通用方法(4次常常需要配合计算判别式).  有兴趣的可以试一下, 那个著名的Vasc 不等式
$$(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^3b+b^3c+c^3a).$$

dahool

回复 8# yao4015

十分感谢，研究下！

TSC999

$ s^3−3s^2 t+2st^2+t^3≥0. $
这是为什么呀？

yao4015

回复 10# TSC999

上面已经有提示, 剩下不过是一点计算.  不用费脑子, 只费点力而已.
设 $s\geq t$, 则可令$s=t+p,\ p\geq 0$, 代入展开就看出来了.
对 $t\geq s$ 完全类似的处理.

不过这个题再费点脑子, 也不难, 就是拆一下项.
$(s^3-4s^2t+4st^2)+(s^2t-2st^2+t^3)=s(s-2t)^2+t(s-t)^2.$

TSC999

回复 11# yao4015

好方法！但是不容易想到，修练不足呀。