本帖最后由 aaa 于 2018-6-13 21:03 编辑
已知点 $I$ 是 $\triangle ABC$ 的内心,$AB=2,AC=3$,若 $\vv{AI}=x\,\vv{AB}+y\,\vv{AC}$,且 $2x+3y=m$,则 $m$ 的取值范围
先变形 $\vv{AI}=2x\dfrac12\vv{AB}+3y\dfrac13\vv{AC}$,想用等和线作,没做出来,只会这一种
设 $BC=a$,则 $1<a<5$
由角平分线定理得
\begin{align*}
\dfrac{AB}{AC}&=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac 23\\
\dfrac{AB}{BD}&=\dfrac{AI}{ID}=\dfrac{2}{\dfrac 25a}
\end{align*}
则\[AI=\dfrac{5}{a+5}AD\]
由向量交叉法则得\[\vv{AD}=\dfrac 35\vv{AB}+\dfrac 25\vv{AC}\]
所以\[\vv{AI}=\dfrac{3}{a+5}\vv{AB}+\dfrac{2}{a+5}\vv{AC}\]
于是\[2x+3y=m=\dfrac{12}{a+5}\in(\dfrac 65,2)\]
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