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[几何] 内心。。。向量的系数和

本帖最后由 aaa 于 2018-6-13 21:03 编辑

已知点 $I$ 是 $\triangle ABC$ 的内心,$AB=2,AC=3$,若 $\vv{AI}=x\,\vv{AB}+y\,\vv{AC}$,且 $2x+3y=m$,则 $m$ 的取值范围

先变形 $\vv{AI}=2x\dfrac12\vv{AB}+3y\dfrac13\vv{AC}$,想用等和线作,没做出来,只会这一种

设  $BC=a$,则 $1<a<5$


由角平分线定理得
\begin{align*}
\dfrac{AB}{AC}&=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac 23\\
\dfrac{AB}{BD}&=\dfrac{AI}{ID}=\dfrac{2}{\dfrac 25a}
\end{align*}



则\[AI=\dfrac{5}{a+5}AD\]


由向量交叉法则得\[\vv{AD}=\dfrac 35\vv{AB}+\dfrac 25\vv{AC}\]

所以\[\vv{AI}=\dfrac{3}{a+5}\vv{AB}+\dfrac{2}{a+5}\vv{AC}\]

于是\[2x+3y=m=\dfrac{12}{a+5}\in(\dfrac 65,2)\]

期待有更多解法,谢谢!
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回复 7# 游客

谢谢

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回复 8# 敬畏数学

谢谢

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内心的向量表示:$a\cdot\overrightarrow{AI}+b\cdot\overrightarrow{BI}+ b\cdot\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{0}$,得:$ (a+b+c)\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{AB}+ c\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$,即:$ \overrightarrow{AI}=\dfrac{b}{a+b+c}\overrightarrow{AB}+\dfrac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{a+5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{a+5}\overrightarrow{AC}$,以下做法同一楼。

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未命名.PNG
2018-6-13 22:35


本质上都一样,只是个运算的问题。

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回复 5# kuing

露一手

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回复 4# isee

搜索能力你们还需要提高,所以我就不干了

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交给kuing,论坛其实一大把,让kuing 搜来。。

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回复 2# zhcosin

改了

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内心不用字母I表示,我的内心是崩溃的。。。

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