免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

[不等式] 用伯努力不等式?

分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友

我说怎么像是见过的不等式,原来就是2006的江西高考题啊

不过,我还没研究过……

TOP

关于这种题我有一种非常无耻的做法,就是取对数以后用割线去缩放,然后求和收拢
\[\ln \left( {1 + {x_k}} \right) \geqslant c{x_k}\]
对这个问题如果你从第一项就开始放,那么$c = 3\ln \frac{3}{2}$
\[\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\ln \left( {1 - \frac{1}{{{3^k}}}} \right)}  \geqslant 3\ln \frac{2}{3}\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{1}{{{3^k}}}}  = \frac{3}{2}\ln \frac{2}{3}\]
\[\prod\limits_{k = 1}^\infty  {\left( {1 - \frac{1}{{{3^k}}}} \right)}  \geqslant \frac{2}{3}{e^{\frac{3}{2}}} > \frac{{14}}{{25}}\]

TOP

方法太多了,至少3-4种吧,
PS:这个回复框还多好的,可以看到原内容。

TOP

回复 4# 其妙
好吧,有些打击到了,简略说下,除3楼已经给的一种以外

TOP

回复 5# realnumber
这两天太忙,其他人先来几种方法吧,临近半期,我上来都是抽时间灌几下水就办事去了。

TOP

关于这种题我有一种非常无耻的做法,就是取对数以后用割线去缩放,然后求和收拢
\[\ln \left( {1 + {x_k}} ...
icesheep 发表于 2013-10-27 22:52

计算错了,不过还是提供了一种思路,
只是跟e有关的比较两边的大小还是有点麻烦

TOP

计算错了,不过还是提供了一种思路,
只是跟e有关的比较两边的大小还是有点麻烦 ...
地狱的死灵 发表于 2013-10-30 13:26

哪里算错了?

TOP

回复 8# icesheep

最后一步
$\displaystyle e^{\frac32\ln\frac23}=\left(\frac23\right)^{\frac32}$
此值约为 0.544,比 1/2 还大……

TOP

kuing  13:20:13
其实更无耻的办法是保留足够多的项,从后面开始放缩,总可以。

TOP

kuing  13:20:13
其实更无耻的办法是保留足够多的项,从后面开始放缩,总可以。 ...
kuing 发表于 2013-10-30 21:55

看来还不够无耻啊,只是尝试了2,3个保留。
kk真试过了?

TOP

这个无耻的办法碰到凑巧是极限的,一定死得很难看.

TOP

回复 11# realnumber

我没试过,但是知道肯定可行,只要题目正确。

碰到极限当然死,但一般能求极限的话也能看出来,于是就不考虑放缩了,而这个题的极限大概求不出来的。

TOP

回复 12# realnumber


    是极限的话,头一步还是取对数,然后应该是可以转化为积分的,不然出题者的那个极限值是怎么求的。

TOP

回复 11# realnumber

就试一下吧,放缩用的是 $(1+x_1)(1+x_2)\cdots>1+x_1+x_2+\cdots$ 其中 $x_i>-1$ 且同号。
我们保留前 $m$ 项不放缩,则
\begin{align*}
\prod_{k=1}^\infty\left( 1-\frac1{3^k} \right)&=\prod_{k=1}^m\left( 1-\frac1{3^k} \right)\prod_{k=m+1}^\infty\left( 1-\frac1{3^k} \right) \\
&\geqslant \prod_{k=1}^m\left( 1-\frac1{3^k} \right)\left( 1-\sum_{k=m+1}^\infty{\frac1{3^k}} \right) \\
&=\left( 1-\frac1{2\cdot3^m} \right)\prod_{k=1}^m\left( 1-\frac1{3^k} \right)\\
&=f(m),
\end{align*}
列出 $f(m)$ 的前几项,发现只要 $m=3$ 就行了
\[f(3)=\frac{11024}{19683}>\frac{14}{25}.\]

TOP

本帖最后由 realnumber 于 2013-10-31 20:51 编辑

真成功了,那个$\frac{14}{25}$,够简洁的,有没近似程度更好的分数
$\frac{m}{n}$,比如要求m,n整数,且n<100.甚至n<20,也许得程序来搞吧~~~~

TOP

回复 16# realnumber

极限值约为 0.560126077927949
14/25 就是 0.56 ,很接近了……

TOP

利用解析数论的方法可以得到非常好的估计

我们来计算
$$S = \log P =\sum_{n\ge 1} \log\left(1-\frac{1}{3^n}\right).$$
定义
$$S(x) = \sum_{n\ge 1} \log\left(1-\frac{1}{3^{xn}}\right).$$
我们现在来计算 Mellin transform.
我们想起定义harmonic sum identity
$$\left(\sum_{k\ge 1} \lambda_k g(\mu_k x);s\right) =
\left(\sum_{k\ge 1} \frac{\lambda_k}{\mu_k^s} \right) g^*(s)$$
其中$g^*(s)$ 是 $g(x).$ 的 Mellin transform
则我们有
$$\lambda_k = 1, \quad \mu_k = k \quad \text{and} \quad
g(x) = \log\left(1-\frac{1}{3^x}\right).$$
显然我们有
$$\int_0^\infty \log\left(1-\frac{1}{3^x}\right) x^{s-1} dx
= \left[\log\left(1-\frac{1}{3^x}\right) \times \frac{x^s}{s} \right]_0^\infty
- \int_0^\infty \frac{\log 3}{3^x-1} \frac{x^s}{s} dx .$$
注意第一个式子有$\Re(s)\ge 1.$ 则有
$$\int_0^\infty \frac{1}{3^x-1} x^s dx
= \int_0^\infty \frac{3^{-x}}{1-3^{-x}} x^s dx
= \int_0^\infty 3^{-x}\sum_{q\ge 0} 3^{-qx} x^s dx
= \sum_{q\ge 0} \int_0^\infty 3^{-(q+1)x} x^s dx.$$
发现
$$\sum_{q\ge 0} \int_0^\infty e^{-(q+1)\log 3 \times x} x^s dx
= \sum_{q\ge 0} \frac{1}{(\log 3\times (q+1))^{s+1}}\Gamma(s+1)
= \frac{\Gamma(s+1)\zeta(s+1)}{(\log 3)^{s+1}}.$$
得到
$$g^*(s) = - \frac{\log 3}{s} \frac{\Gamma(s+1)\zeta(s+1)}{(\log 3)^{s+1}}
= - \frac{1}{s} \frac{\Gamma(s+1)\zeta(s+1)}{(\log 3)^s}.$$
对于 $Q(s)$我们利用harmonic sum 有
$$Q(s) = - \frac{1}{s (\log 3)^s} \Gamma(s+1)\zeta(s)\zeta(s+1).$$
我们下面经过简单计算有
\begin{align*}
\mathrm{Res}(Q(s)/x^s; s=1) &= -\frac{1}{6} \frac{\pi^2}{\log 3} \frac{1}{x},\\
\mathrm{Res}(Q(s)/x^s; s=0) &= \frac{1}{2} \log \frac{2\pi}{\log 3} - \frac{1}{2}\log x,
\quad\text{and}\\
\mathrm{Res}(Q(s)/x^s; s=-1) &= \frac{1}{24} x \log 3.
\end{align*}
令$x=1$ ,我们可以得到 $S(1)$ 的渐进估计,则有
$$S(1) = S \approx
-\frac{1}{6} \frac{\pi^2}{\log 3} + \frac{1}{2} \log \frac{2\pi}{\log 3}
+ \frac{1}{24} \log 3\\
\approx -0.57959338143590694$$
那么我们有
$$ P \approx \exp\left(-\frac{1}{6} \frac{\pi^2}{\log 3}\right) \times
\sqrt{\frac{2\pi}{\log 3} } \times 3^{1/24}
\approx 0.56012607792794900$$

TOP

貌似有这个,可能只对正数成立,不 check 了直接放上来了。
$s = \sum\limits_{k = 1}^n {{x_k}}$
\[\prod\limits_{k = 1}^n {\left( {1 + {x_k}} \right)}  \leqslant 1 + s + \frac{{{s^2}}}{2} + ... + \frac{{{s^n}}}{{n!}}\]

TOP

回复 19# icesheep

这个旧版论坛有 http://kkkkuingggg.haotui.com/viewthread.php?tid=143

TOP

返回列表 回复 发帖