[函数] 2018年天津卷理科第20题 指数对数一对反函数

isee

经常出现成对出现，也先集中一下吧。

文字版

已知函数$f(x) = a^x$ ，$g(x) = \log _ax$ ，其中$a>1$.
（I）求函数$h(x) = f(x) - x\ln a$ 的单调区间；
（II）若曲线$y = f(x)$ 在点$({x_1},f(x_1))$ 处的切线与曲线$y = g(x)$ 在点$(x_2,g(x_2))$  处的切线平行，证明$x_1 + g(x_2) = -\frac{2\ln \ln a}{\ln a}$ ；
（III）证明当$a \geqslant \mathrm{e}^{\frac 1{\mathrm e}}$ 时，存在直线$l$，使$l$是曲线$y = f(x)$ 的切线，也是曲线$y = g(x)$ 的切线.