[几何] 2018年天津卷理科第8题向量内积

本帖最后由 isee 于 2018-6-21 14:19 编辑

来了来了，不过，不想算。。。

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如图，在平面四边形$ABCD$中，$AB \bot BC$ ，$AD \bot CD$ ，$\angle BAD = 120^\circ $ ，$AB = AD = 1$ . 若点$E$为边$CD$上的动点，则$\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {BE} $ 的最小值为

选项略

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isee

2^#

发表于 2018-6-11 10:43 | 显示全部帖子

\[ \vv{AE}\cdot\vv{BE}=AE\times EF=EM^2=EO^2-MO^2\geqslant (EN+NO)^2-\dfrac{1}{4}=(1+\dfrac{1}{4}) ...
乌贼发表于 2018-6-9 03:03

这种切割线的构造实在是厉害

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isee

3^#

发表于 2018-6-11 10:47 | 显示全部帖子

回复 2# kuing

然后咋办？

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isee

4^#

发表于 2018-6-11 10:51 | 显示全部帖子

本帖最后由 isee 于 2022-3-4 23:27 编辑

常规计算如下。

设$ED=x$，则
\begin{align*}
\vv {EA}\cdot\vv{EB}&=(\vv{ED}+\vv{DA})(\vv{EC}+\vv{CB})\\
&=\vv{ED}\cdot\vv{EC}+\vv{ED}\cdot\vv{CB}+\vv{DA}\cdot\vv{EC}+\vv{DA}\cdot\vv{CB}\\
&=-x(\sqrt 3-x)+\frac {\sqrt 3 x}2+0+\frac{3}2\\
&=\left(x-\frac {\sqrt 3}4\right)^2+\frac{21}{16}\\
&\geqslant \frac {21}{16}
\end{align*}

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isee