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[数列] 2018年江苏卷第14题 集合与数列

本帖最后由 isee 于 2018-6-21 15:10 编辑

相对而言,2018年江苏卷的难度算是大的。

文字版

14.已知集合$A=\{x|x=2n-1,n\in N^*\}$,$B=\{x|x=2^n,n\in N^*\}$.将$A\bigcup B$的所有元素从小到大依次排列构成一个数列$\{a_n\}$.记$S_n$为数列$\{a_n\}$的前$n$项和,则使得$S_n>12a_{n+1}$成立的n的最小值为____.
14.png
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这题确实有点那啥啊……

上MMC干掉它
  1. AA = Table[2 n - 1, {n, 64}];
  2. BB = Table[2^n, {n, 7}];
  3. a = Union[AA, BB];
  4. s[1] = a[[1]];
  5. Do[s[n + 1] = s[n] + a[[n + 1]], {n, 70}]
  6. i = 1;
  7. While[s[i] <= 12 a[[i + 1]], i++]
  8. i
复制代码
运行一秒种得出 27

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回复 2# kuing


mathematica 确实强大,可惜我不太会。。。

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回复 2# kuing
这破程序都要运行一秒,弃 MMC 换 C 保平安

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回复 4# zhcosin

1秒只是个感觉吧,应该是瞬间~

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回复 4# zhcosin

误差+-1秒

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原来是可以设置为显示运行时间的:
http://reference.wolfram.com/lan ... NotebookWindow.html
QQ截图20180608174944.png
2018-6-8 17:49
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 7# kuing

这还差不多

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话说这题除了列举法,还有其它解法么?

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要求$S_{n+1}>13a_{n+1}$。当$B$中的数达到$2^{k+1}$时(第$k+1$个数),必已经历过$A$中的$1,3,\cdots,2^{k+1}-1$这些奇数,其和为$2^{2(k+1)}$,因此
$S_{k+1+2^k}=(2^1+\cdots+2^{k+1})+2^{2(k+1)}=2 (2^{k+1}-1)+2^{2(k+1)}$,这里的求和$B$中的数必须加到$2^{k+1}$,而不能少。
而$a_{k+1+2^k}$就是$2^{k+1}$,令$2^{k+1}=m$,解$S_{k+1+2^k}>13a_{k+1+2^k}$有$m>11$,所以$k\ge4$,根据下标再计算$k+1+2^k\ge21$。不知道哪里想得不对。

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我来个低端做法
大致列一下$a_n:1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,\cdots,$注意到对于有限的前$n$项,多数数字来自集合$A,$不妨当成$a_n=2n-1,$则$S_n>12a_{n+1}$的解是$n\geqslant 25.$首先尝试$n=25,$则$a_{25}=39,a_{26}=41,S_{25}=462<12a_{26}=492,$不满足题意;再尝试$n=26,$则$S_{26}=503<12a_{27}=516,$仍不满足;再尝试$n=27,$则$S_{27}=546>12a_{27}=540,$满足题意.故猜想$n$的最小值为27,只需再证明当$n<27$时,$S_n\leqslant 12a_{n+1}$即可.作为考试,毛想想即可,不需再证明,作为无时间限制的非考试解题,穷举即可

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