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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 2018年全国卷2理科第12题 求椭圆离心率
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发表于 2018-6-8 16:14
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[几何]
2018年全国卷2理科第12题 求椭圆离心率
本帖最后由 isee 于 2018-6-21 14:17 编辑
图片不太清。。耐心看。。。咯。。。
文字版:
已知$F_1$ ,$F_2$ 是椭圆$C:\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\;(a > b > 0)$ 的左,右焦点,$A$是$C$的左顶点,点$P$在过$A$且斜率
为$\frac{\sqrt 3}6$ 的直线上,$\triangle PF_1F_2$ 为等腰三角形,$\angle F_1F_2P = 120^{\circ}$ ,则$C$的离心率为
选项略
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zhcosin
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发表于 2018-6-8 17:29
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本帖最后由 zhcosin 于 2018-6-8 22:36 编辑
等腰三角形只有顶角可以是钝角,所以 $F_1 F_2 = F_2 P = 2
c$.并且 $\angle P F_1 F_2 = 30^{\circ}$,过点 $P$ 作直线 $F_1 F_2$
的垂线,垂足为 $Q$,则 $P Q = P F_2 \sin \angle F_1 F_2 P =
\sqrt{3} c$,而 $F_2 Q = P F_2 \cos \angle P F_2 Q = c$,在直角 $
\triangle P A Q$中.有
\[ \frac{\sqrt{3}}{6} = \tan \angle P A Q = \frac{P Q}{A Q} = \frac{P Q}{A
F_1 + F_1 F_2 + F_2 Q} = \frac{\sqrt{3} c}{(a - c) + 2 c + c} =
\frac{\sqrt{3} c}{a + 2 c} \]
于是 $a = 4 c$,即 $e = \frac{1}{4}$.
数学暗恋者,程序员,喜欢古典文学/历史,个人主页: https://zhcosin.coding.me/
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isee
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发表于 2018-6-8 17:33
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zhcosin
你把图片搞得如主楼一样小,真是狠。。。看得眼睛发漂。。
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zhcosin
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发表于 2018-6-8 17:38
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isee
不是图片小,是字小。。。。
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乌贼
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发表于 2018-6-8 21:37
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2018-6-8 21:37
\[ F_2H=c,PH=\sqrt{3}c\\AH=\dfrac{6PH}{\sqrt{3}}=6c\\a=AO=4c\\e=\dfrac{1}{4}\]
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发表于 2018-6-11 15:21
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试卷里浪费了一个题的位置,这个到底在考什么?
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shidilin
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发表于 2018-6-11 19:54
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游客
可以参考网上的段子:
试题难度:往年,衡水;今年、很水
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