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（1）略.
  
  (2) 可以验证，无论 $x$、$y$ 两个数的大小情况如何，均有
  \[ \frac{1}{2} [(x + y - | x - y |)] = \min (x, y) \]
  因此在题设条件下，有 $M (\alpha, \beta) = \sum_{i = 1}^n \min(x_i, y_i)$.
  
  在 $n = 4$ 的情况下，设 $\gamma$ 是 $A$中任一元素，要使得它能够属于 $B$，则 $\gamma$ 的分量中1的个数只能是奇数，这样才能使得 $M (\gamma, \gamma)$ 是奇数，符合这条件的 $\gamma$ 有 $C_4^1 + C_4^3 = 8$ 个，分别为分量为只有一个1的
  \[ \alpha_1 = (1, 0, 0, 0), \alpha_2 = (0, 1, 0, 0), \alpha_3 = (0, 0, 1,0), \alpha_4 = (0, 0, 0, 1) \]
  与分量有3个1的
  \[ \beta_1 = (0, 1, 1, 1), \beta_2 = (1, 0, 1, 1), \beta_3 = (1, 1, 0, 1), \beta_4 = (1, 1, 1, 0) \]
  而为了使 $M (\alpha, \beta)$ 为偶数，在将 $\alpha$、$\beta$对应的分量取较小者之后得到的新元素 $\gamma$ 的分量中，1的个数必须是偶数个，按此标准，在上述被分成两组的8个元素中，如果这两个不同的元素分别取自上下两个组中的同一组中，那么条件是满足的，但是如果是取自于不同组中，那么可以发现，$\alpha_k$ 仅与 $\beta_k$ 即下标相同的两个元素是符合条件的，而下标不同的两个元素 $\alpha_i$ 与 $\beta_j (i \neq j)$ 则不符合条件，因此 $B$ 中元素个数的最大值是4，即只有拥有上组的全部元素，或者只拥有下组的全部元素.
  
  (3) 要对于 $B$ 中任意两个不同的元素 $\alpha$、$\beta$ 都有 $M (\alpha, \beta) = 0$，那么在对这两个元素的分量都取较小者之后，1的个数只能是零，这表示这两个不同的元素每一个分量上，至少有一个元素的分量是零，换言之，任意两个 $B$中的元素不能在同一个分量上同时为1，那么现在我们已经可以构造出一个 $B$ 了，设 $\alpha_i$ 是第 $i$ 个分量为1而其余分量全是零的元素，再设 $\alpha_0$ 是全部分量都是零的元素，那么 $B = \{ \alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \}$ 显然是符合题意的，事实上，它也是元素个数最大的了，这是因为，假使 $B$ 中有 $m$ 个元素 $B = \{ \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m \}$，把这些元素的分量按行写成一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵(每个元素一行)，第一行是 $\beta_1$ 的各分量，第二行是 $\beta_2$ 的各分量，依次类推，第 $m$ 行是 $\beta_m$ 的各分量，那么在这个矩阵中，每一列都不能同时有两个或者更多的1，所以每一列都最多只能一个1，如果同一行有多个1，那么可以把这一行拆分成若干个只有一个分量为1的元素，也就是把这矩阵中的这一行拆分成多行，显然，这样拆分在增加了元素个数的同时，又不会违反原有的限制，所以，最终的结果就是，每一行也最多只有一个1，这正是前述我们所构造出来的情况。