2018年北京卷理科第20题 集合

isee

免得说北京卷简单，北京卷的尾巴一直是翘的，我只是发上来……

文字版：

设$n$为正整数，集合$A=\{\alpha |\alpha =(t_1,t_2,\cdots ,t_n),t_n\in \{0,1\},k=1,2,\cdots ,n\}$．对于集合$A$中的任意元素$\alpha =(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$和$\beta =(y_1,y_2,\cdots ,y_n)$，记
$M(\alpha,\beta)=\frac 12 \big((x_1+y_1-|x_1-y_1|)+(x_2+y_2-|x_2-y_2|)+\cdots +(x_n+y_n-|x_n-y_n|)\big)$．
（Ⅰ）当$n=3$时，若$\alpha =(1,1,0)$，$\beta =(0,1,1)$，求$M(\alpha ,\alpha)$和$M(\alpha ,\beta)$的值；
（Ⅱ）当$n=4$时，设$B$是$A$的子集，且满足：对于$B$中的任意元素$\alpha ,\beta $，当$\alpha,\beta $相同时，$M(\alpha,\beta)$是奇数；当$\alpha,\beta $不同时，$M(\alpha,\beta)$是偶数．求集合$B$中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于$2$的$n$，设$B$是$A$的子集，且满足：对于$B$中的任意两个不同的元素$\alpha ,\beta $，$M(\alpha,\beta)=0$．写出一个集合$B$，使其元素个数最多，并说明理由．

kuing

难道兜这么大个圈就是数量积？

isee

回复 2# kuing

我没看，只是发上来……因为只是感觉填空与选择压轴有点基础，想着压轴平衡一下。。。

kuing

回复 3# isee

因为分量只能是 0 和 1，故对于 `\frac12(x_1+y_1-|x_1-y_1|)` 来说，显然只有当 `x_1=y_1=1` 时为 `1`，其余时候都为零，这等同于 `x_1y_1`，所以 `M(a,b)` 就是 `\bm a\cdot\bm b`。

这样的话，应该就不难了，至少第三问答案明显就是 `n+1`，要两两垂直，集合应由 `n` 个单位向量及零向量组成，严格证明可能要用到数归，怎样才能叙述得好还得想想。

kuing

回复 4# kuing

噢，我逗了，第三问还数归个啥，很容易证。
设设 B 中的元素 `\alpha_i=(x_{i1},x_{i2},\ldots,x_{in})`，将它们排成矩阵\[\begin{matrix}
x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n}\\
x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{2n}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots
\end{matrix}\]要任意两个不同的 `\alpha_i` 都垂直，每一列中就最多一个 1，所以这个矩阵中最多 `n` 个 1，所以，如果有 `n+2` 行的话，必然有两行全为 0，矛盾。

isee

回复 2# kuing


回复 4# kuing


一语中地啊，北京卷北京卷

zhcosin

（1）略.
  
  (2) 可以验证，无论 $x$、$y$ 两个数的大小情况如何，均有
  \[ \frac{1}{2} [(x + y - | x - y |)] = \min (x, y) \]
  因此在题设条件下，有 $M (\alpha, \beta) = \sum_{i = 1}^n \min(x_i, y_i)$.
  
  在 $n = 4$ 的情况下，设 $\gamma$ 是 $A$中任一元素，要使得它能够属于 $B$，则 $\gamma$ 的分量中1的个数只能是奇数，这样才能使得 $M (\gamma, \gamma)$ 是奇数，符合这条件的 $\gamma$ 有 $C_4^1 + C_4^3 = 8$ 个，分别为分量为只有一个1的
  \[ \alpha_1 = (1, 0, 0, 0), \alpha_2 = (0, 1, 0, 0), \alpha_3 = (0, 0, 1,0), \alpha_4 = (0, 0, 0, 1) \]
  与分量有3个1的
  \[ \beta_1 = (0, 1, 1, 1), \beta_2 = (1, 0, 1, 1), \beta_3 = (1, 1, 0, 1), \beta_4 = (1, 1, 1, 0) \]
  而为了使 $M (\alpha, \beta)$ 为偶数，在将 $\alpha$、$\beta$对应的分量取较小者之后得到的新元素 $\gamma$ 的分量中，1的个数必须是偶数个，按此标准，在上述被分成两组的8个元素中，如果这两个不同的元素分别取自上下两个组中的同一组中，那么条件是满足的，但是如果是取自于不同组中，那么可以发现，$\alpha_k$ 仅与 $\beta_k$ 即下标相同的两个元素是符合条件的，而下标不同的两个元素 $\alpha_i$ 与 $\beta_j (i \neq j)$ 则不符合条件，因此 $B$ 中元素个数的最大值是4，即只有拥有上组的全部元素，或者只拥有下组的全部元素.
  
  (3) 要对于 $B$ 中任意两个不同的元素 $\alpha$、$\beta$ 都有 $M (\alpha, \beta) = 0$，那么在对这两个元素的分量都取较小者之后，1的个数只能是零，这表示这两个不同的元素每一个分量上，至少有一个元素的分量是零，换言之，任意两个 $B$中的元素不能在同一个分量上同时为1，那么现在我们已经可以构造出一个 $B$ 了，设 $\alpha_i$ 是第 $i$ 个分量为1而其余分量全是零的元素，再设 $\alpha_0$ 是全部分量都是零的元素，那么 $B = \{ \alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \}$ 显然是符合题意的，事实上，它也是元素个数最大的了，这是因为，假使 $B$ 中有 $m$ 个元素 $B = \{ \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m \}$，把这些元素的分量按行写成一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵(每个元素一行)，第一行是 $\beta_1$ 的各分量，第二行是 $\beta_2$ 的各分量，依次类推，第 $m$ 行是 $\beta_m$ 的各分量，那么在这个矩阵中，每一列都不能同时有两个或者更多的1，所以每一列都最多只能一个1，如果同一行有多个1，那么可以把这一行拆分成若干个只有一个分量为1的元素，也就是把这矩阵中的这一行拆分成多行，显然，这样拆分在增加了元素个数的同时，又不会违反原有的限制，所以，最终的结果就是，每一行也最多只有一个1，这正是前述我们所构造出来的情况。