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[函数] 2018年全国卷I理科第21题 导数 分式+对数 对数均值秒之

本帖最后由 isee 于 2018-6-21 14:35 编辑

第(1)是送分的。
第(2)在(1)的目测下,要求$a>2$,化归为$x_1$(一元),应该有戏。



文字版:

已知函数$f(x) = \frac 1x - x + a\ln x$ .
(1)讨论$f(x) $ 的单调性;
(2)若$ f(x)$ 存在两个极值点$x_1,x_2$ ,证明:$\frac{f\left(x_1 \right) - f\left(x_2 \right)}{x_1 -x_2} < a – 2$ .
21.png
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不需要化一元,用韦达定理化简那个不等式,最后刚好为对数平均,很简单

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本帖最后由 isee 于 2018-6-7 22:05 编辑

回复 2# kuing

我擦,你都化完了?我动手正在化简呢。如果真是对数平均不等式,那就是化两根商了,只不过,这里两根积为1,很特殊,可化为一元。
韦达定理一定要上场的。

===================

果然,用$$\sqrt {ab}<\frac{a-b}{\ln a-\ln b}(<\frac {a+b} 2).$$

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回复 3# isee

给学生讲的话还是化一元好,反正也是很简单的

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回复 4# kuing

此题与2011年湖南文科考题几乎一样。
听说还有其它题目与以前考差不多,不知有哪些?

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本帖最后由 isee 于 2018-6-11 11:22 编辑

回复 5# lemondian

这没什么奇怪的,数学(考试)是有周期的。

还有哪些,我也想知道,不过,我想kuing肯定不关心这个。

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