繁體
|
簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
(檢舉)
分享
新浪微博
QQ空间
人人网
腾讯微博
Facebook
Google+
Plurk
Twitter
Line
快速注册
登录
论坛
搜索
帮助
原始风格
brown
purple
green
red
orange
gray
pink
violet
blue
greyish-green
jeans
greenwall
私人消息 (0)
公共消息 (0)
系统消息 (0)
好友消息 (0)
帖子消息 (0)
应用通知 (0)
应用邀请 (0)
悠闲数学娱乐论坛(第2版)
»
初等数学讨论
» 一道不等式问题
返回列表
发帖
longma
发短消息
加为好友
longma
当前离线
UID
53
帖子
76
主题
32
精华
0
积分
415
威望
0
阅读权限
50
在线时间
70 小时
注册时间
2013-7-10
最后登录
2021-6-5
1
#
跳转到
»
倒序看帖
打印
字体大小:
t
T
发表于 2013-7-10 19:02
|
只看该作者
[不等式]
一道不等式问题
2013-7-10 19:02
收藏
分享
分享到:
QQ空间
腾讯微博
腾讯朋友
其妙
发短消息
加为好友
其妙
当前离线
UID
38
帖子
2386
主题
95
精华
0
积分
12885
威望
4
阅读权限
90
在线时间
1110 小时
注册时间
2013-6-22
最后登录
2022-2-10
2
#
发表于 2013-7-10 19:56
|
只看该作者
欢迎来到本论坛!
证法一:令$t=\tan\theta$,$\theta\in[0,\dfrac{\pi}4]$,则$\sqrt{1+t^2}=\sec\theta$,当$t\in(0,1]$时,\[\dfrac{\sqrt{1+t^2}-1}t=\dfrac{\sec\theta-1}{\tan\theta}=\dfrac{1-\cos\theta}{\sin\theta}=\dfrac{2\sin^2\dfrac{\theta}2}{2\sin\dfrac{\theta}2\cos\dfrac{\theta}2}=\tan\dfrac{\theta}2\leqslant \tan\dfrac{\pi}8=\sqrt2-1\]
故\[\sqrt{1+t^2}\leqslant(\sqrt2-1)t+1\]
显见,当$t=0$时或者$t=1$时上式取等号。
同理,\[\sqrt{1+(1-t)^2}\leqslant(\sqrt2-1)(1-t)+1\]
当$t=0$时或者$t=1$时上式也取等号。
以上两式相加即得证。
TOP
其妙
发短消息
加为好友
其妙
当前离线
UID
38
帖子
2386
主题
95
精华
0
积分
12885
威望
4
阅读权限
90
在线时间
1110 小时
注册时间
2013-6-22
最后登录
2022-2-10
3
#
发表于 2013-7-10 20:24
|
只看该作者
证法二:当$t\in(0,1]$时,\[f(t)=\dfrac{\sqrt{1+t^2}-1}t=\dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{(\dfrac1t)^2+1}+\dfrac1t}\]
故函数$f(t)=\dfrac{\sqrt{1+t^2}-1}{t}$在$t\in(0,1]$时是增函数,于是,$f(t)=\dfrac{\sqrt{1+t^2}-1}{t}\leqslant f(1)=\sqrt2-1$
故\[\sqrt{1+t^2}\leqslant(\sqrt2-1)t+1\]
显见,当$t=0$时或者$t=1$时上式取等号。
同理,\[\sqrt{1+(1-t)^2}\leqslant(\sqrt2-1)(1-t)+1\]
当$t=0$时或者$t=1$时上式也取等号。
以上两式相加即得证。
说明:和方法一区别不大。
TOP
longma
发短消息
加为好友
longma
当前离线
UID
53
帖子
76
主题
32
精华
0
积分
415
威望
0
阅读权限
50
在线时间
70 小时
注册时间
2013-7-10
最后登录
2021-6-5
4
#
发表于 2013-7-10 21:13
|
只看该作者
,多谢,真是高手!膜拜大神!
TOP
其妙
发短消息
加为好友
其妙
当前离线
UID
38
帖子
2386
主题
95
精华
0
积分
12885
威望
4
阅读权限
90
在线时间
1110 小时
注册时间
2013-6-22
最后登录
2022-2-10
5
#
发表于 2013-7-10 21:31
|
只看该作者
回复
4#
longma
方法三:以下的坐标$(x,y)$全部表示向量,$|(x,y)|$表示该向量的模。
\[\sqrt{1+t^2}=|(1,t)|=|(t,t)+(1-t,0)|\leqslant|(t,t)|+|(1-t,0)|=\sqrt2t+1-t=(\sqrt2-1)t+1\]
同理,\[\sqrt{1+(1-t)^2}\leqslant(\sqrt2-1)(1-t)+1\]
当$t=0$或者$t=1$时,以上两式取等号。
再将以上两式相加即得证。
说明:和方法一、二区别不太大。
TOP
其妙
发短消息
加为好友
其妙
当前离线
UID
38
帖子
2386
主题
95
精华
0
积分
12885
威望
4
阅读权限
90
在线时间
1110 小时
注册时间
2013-6-22
最后登录
2022-2-10
6
#
发表于 2013-7-10 21:41
|
只看该作者
回复
5#
其妙
上面求了最大值,干脆把最小值也求了吧:
以下的坐标$(x,y)$全部表示向量,$|(x,y)|$表示该向量的模。
\[\sqrt{1+t^2}+\sqrt{1+(1-t)^2}=|(1,t)|+|(1,1-t)|\geqslant|(1,t)+(1,1-t)|=|(2,1)|=\sqrt5\]
当且仅当$t=\dfrac12$上式取等号。
说明:求最小值还有其他不少方法。
TOP
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
7
#
发表于 2013-7-11 01:48
|
只看该作者
支撑线
可推广
闪走先
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
TOP
其妙
发短消息
加为好友
其妙
当前离线
UID
38
帖子
2386
主题
95
精华
0
积分
12885
威望
4
阅读权限
90
在线时间
1110 小时
注册时间
2013-6-22
最后登录
2022-2-10
8
#
发表于 2013-7-11 13:55
|
只看该作者
支撑线
可推广
闪走先
kuing 发表于 2013-7-11 01:48
天机不可泄露,一语道破天机,
TOP
返回列表
回复
发帖
[收藏此主题]
[关注此主题的新回复]
[通过 QQ、MSN 分享给朋友]