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[不等式] 请教一个max的min的题目

本帖最后由 joatbmon 于 2018-6-2 11:33 编辑

题目
  1. $a,b,c$均为正数,$b^2\geqslant 4ac,$求$\max\{\dfrac{b+c}{a},\dfrac{a+c}{b},\dfrac{b+a}{c}\}$的最小值
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我借助线规做了
  1. 记$\dfrac{c}{b}=x,\dfrac{a}{b}=y,$将原题改写为:$x,y$均为正数,$xy\leqslant\dfrac{1}{4},$求$\max\{\dfrac{1+x}{y},x+y,\dfrac{1+y}{x}\}$的最小值
  2. 取$x=y=\dfrac{1}{2}$猜想答案为3,下面证明$\max\{\dfrac{1+x}{y},x+y,\dfrac{1+y}{x}\}\geqslant 3,$反证法,假设不成立,即        $\dfrac{1+x}{y}<3,x+y<3,\dfrac{1+y}{x}<3$画出可行域,可知$xy>\dfrac{1}{4},$与$xy\leqslant \dfrac{1}{4}$矛盾,于是本题答案3
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但是想要请问,不用线规咋写?因为可能会更高维度难以线规
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就你的结果修改下
$\frac{b+c}{a}\frac{a+b}{c}\ge \frac{(b+\sqrt{ac})^2}{ac}\ge9$
当且仅当2a=2c=b取到9,此时$\frac{a+c}{b}=1$,
因此所求值为3

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回复 2# realnumber

想通了,谢谢

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你们可以试试求 `\min\{\frac{b+c}{a},\frac{a+c}{b},\frac{b+a}{c}\}` 的最大值。

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min的max好像完全不一样,搞不定,说明理解的还不够深

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回复 5# joatbmon

在《懒人版撸题集》里有答案,你可以去找找

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mark!

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本帖最后由 realnumber 于 2018-6-18 22:46 编辑

令$\frac{a}{c}=x>0,\frac{b}{c}=y>0$,那么$y^2\ge 4x$
求min{$\frac{y+1}{x},\frac{x+1}{y},x+y$}的最大值m.
另$x=4=y$或$x=\frac{1}{4},y=1$得到min{$\frac{y+1}{x},\frac{x+1}{y},x+y$}=$\frac{5}{4}$
即$m\ge \frac{5}{4}$,若$m>\frac{5}{4}$,则存在x,y有以下三式同时成立,$\frac{y+1}{x}>\frac{5}{4},\frac{x+1}{y}>\frac{5}{4},x+y>\frac{5}{4}$,又$y^2\ge 4x$,作图如下,矛盾.
QQ截图20180617074636aaaa1.png
2018-6-18 22:35

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