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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
»
初等数学讨论
» 椭圆中斜率比值问题
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lemondian
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发表于 2018-5-31 19:38
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只看该作者
[几何]
椭圆中斜率比值问题
设椭圆C:$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左,右顶点为A,B,过右焦点F(c,0)作非水平直线L与椭圆C交于P,Q两点,记直线AP,BQ的斜率为$k1,k2$,求$\dfrac{k1}{k2}$的值。
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kuing
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发表于 2018-5-31 19:43
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只看该作者
这类结论早就被玩烂了吧……自己做吧……
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lemondian
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发表于 2018-5-31 21:14
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只看该作者
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kuing
又玩烂了?
那有类似的题目学习下吧。。。
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lemondian
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发表于 2018-6-1 09:10
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只看该作者
终于算出来了!
设$l:x=ty+c,椭圆\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2-c^2}=1,联立消去x,由韦达定理,再由k_1=\dfrac{y_1}{x_1+a}=\dfrac{y_1}{ty_1+c+a}$,
$k_2=\dfrac{y_2}{x_2-a}=\dfrac{y_2}{ty_2+c-a}$,代入化简可得:
$\dfrac{k_1}{k_2}=\dfrac{a-c}{a+c}$.
不过这个做法,运算相当麻烦,不知有没有更简单的做法?
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kuing
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发表于 2018-6-1 13:13
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只看该作者
简单方法当然是玩“伸缩变换”了。
注意到,当对整个图形沿 `y` 轴拉伸至原来的 `t` 倍时,所有直线的斜率亦都将变为原来的 `t` 倍,`k_1/k_2` 不变,由此可见,只需考虑将椭圆拉伸成圆的情形即可。
如图,连 `PB`,作 `EH\perp PA` 于 `H`:
2018-6-1 13:13
有
\[\frac{k_{AP}}{k_{BQ}}=\frac{\tan\angle EAP}{\tan\angle EBQ}=\frac{\tan\angle EAP}{\tan\angle EPA}=\frac{HP}{HA}=\frac{EB}{EA},\]
回到原题,`E` 为焦点 `F`,所以 `k_1/k_2=(a-c)/(a+c)`。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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lemondian
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发表于 2018-6-1 15:12
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kuing
果然NB!
好象双曲线也有此结论,那么能否用“伸缩变换”处理,如何处理呢?
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kuing
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发表于 2018-6-1 15:52
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lemondian
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发表于 2018-6-1 19:05
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只看该作者
对椭圆(从解析几何角度,双曲线亦如此)如何继续研究的话,会发现
(1)直线PA与直线BQ的交点在定直线(准线)上。
(2)记此交点为T,则直线TA,TB,TF三条直线的斜率为等差数列。
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力工
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发表于 2018-6-1 19:25
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与交比应该有一腿,是啥子关系?
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发表于 2018-6-1 20:29
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在论坛上搜索一下应该会有相关帖子
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lemondian
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发表于 2018-6-1 22:21
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isee
第二个中,斜率顺序是不是弄错了?
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isee
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lemondian
sorry,TF是中项。
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