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[函数] 来自人教群的双极值点——导数漂移+函数单调

看着好像有点意思,没动手,先转载过来。

d-b.jpg
2018-5-25 17:34


第(1)问从一阶导数目测结果为$a>1$,未严格证明.
第(2)问初见,但愿不是那种“难看”“硬算”的题

文字版

题:已知函数$f(x)=e^x-0.5x^2-ax$有两个极值点$x_1,x_2$。
(1)求实数$a$的取值范围;
(2)求证:$f(x_1)+f(x_2)>2$。
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没什么难度啊……

第一问 `a>1` 没问题,要证也很简单,这里从略。

第二问,依题意有 `e^{x_1}-x_1=e^{x_2}-x_2=a`,不妨设 `x_1<x_2`,显然它们一正一负。
用最常规的漂移方法可以证出 `x_1+x_2<0`(过程从略),因为 `f(x)` 在 `(x_1,x_2)` 上递减,故由 `x_1<-x_2` 得
\[f(x_1)+f(x_2)>f(-x_2)+f(x_2)=e^{x_2}+e^{-x_2}-x_2^2,\]
很容易证明 `e^x+e^{-x}-x^2\geqslant2` 恒成立(过程再次从略),即得证。

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回复 2# kuing


哈哈,果然被你一眼看穿。
穿隐身衣的漂移。

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