没什么难度啊……
第一问 `a>1` 没问题,要证也很简单,这里从略。
第二问,依题意有 `e^{x_1}-x_1=e^{x_2}-x_2=a`,不妨设 `x_1<x_2`,显然它们一正一负。
用最常规的漂移方法可以证出 `x_1+x_2<0`(过程从略),因为 `f(x)` 在 `(x_1,x_2)` 上递减,故由 `x_1<-x_2` 得
\[f(x_1)+f(x_2)>f(-x_2)+f(x_2)=e^{x_2}+e^{-x_2}-x_2^2,\]
很容易证明 `e^x+e^{-x}-x^2\geqslant2` 恒成立(过程再次从略),即得证。 |