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[函数] 没几何画板的学生

设函数$f(x)=\abs{\frac{1}{x-1}-a}-4x+a+1$有两个零点,则实数a=_______
$-\frac{1}{2},\frac{7}{2},4$
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本帖最后由 joatbmon 于 2018-6-2 11:28 编辑
  1. 我用geogebar画图的不是几何画板哈哈,绍兴二模不知道谁出题的
  2. 令$t=\dfrac{1}{x-1}-a,$则$x=1+\dfrac{1}{t+a},$原函数化为$y=|t|-\dfrac{4}{t+a}+a-3,$其零点即$y=|t|$与$y=\dfrac{4}{t+a}-a+3$图像交点横坐标.
  3. 将函数$y=\dfrac{4}{t}$的图像按照向量$(-a,-a+3)$平移即得$y=\dfrac{4}{t+a}-a+3$图像,其中心$A(-a,-a+3)$在直线$y=x+3$上运动,题意即寻找这个平移后的反比例函数与函数$y=|t|$有两个交点的情况,如图三种情况
  4. 第一种情况,这个反比例函数平移后的一个顶点$(-2-a,-2-a+3)$在$y=-x$图像上,解得$a=-\dfrac{1}{2}$
  5. 第二种情况,另一个顶点$(2-a,2-a+3)$在$y=-x$图像上,解得$a=\dfrac{7}{2}$
  6. 第三种情况,反比例图像平移后过原点,解得$a=4$(注:另一个$a=-1$舍去,因为中心在左边可知$-a<0$)
  7. 综上,$a=-\dfrac{1}{2},\dfrac{7}{2},4$
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回复 2# joatbmon


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已知$x,y,z$都是正数,求$\max\{\dfrac{x}{y}+z,yz+\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{xz}+y\}$的最小值为
$\max\{\dfrac{x}{y}+z,yz+\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{xz}+y\}\geqslant\max\{\dfrac{x}{y}+z,\dfrac{1}{xz}+y\}\geqslant\sqrt{(\dfrac{x}{y}+z)(\dfrac{1}{xz}+y)}=\sqrt{\dfrac{1}{yz}+yz+x+\dfrac{1}{x}}\geqslant\sqrt{2+2}=2,$取等条件为$\begin{cases}x=1\\
                yz=1\\
                \dfrac{x}{y}+z=\dfrac{1}{xz}+y\geqslant yz+\dfrac{1}{x}\end{cases}.$即$x=y=1,$故本题答案为1

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