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[不等式] 三元分式不等式

本帖最后由 lemondian 于 2018-5-12 17:09 编辑

已知$a,b,c>0$,求证:$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant \dfrac{a+b+c}{1+2abc}$.

是不是要改为:$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant \dfrac{a+b+c}{1+3abc}$.才好?
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题目有没有抄错?现在这个不等式虽然成立但太弱且取不了等号

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回复 2# kuing


    没错,原题如此。

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回复 3# lemondian

那就没意思了。

首先容易证明
\[\frac ab+\frac bc+\frac ca\geqslant \frac {a+b+c}{\sqrt[3]{abc}},\]
于是只需证 `\sqrt[3]{abc}\leqslant 1+2abc`,这显然成立而且取不了等。

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回复 4# kuing
哦,
我猜,出题人是不是想看看,此题能不能推广到n元吧?可能没考虑到取等

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我想是不是将原不等式的分母的数字改为3才对头?

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无语……

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已知:$a,b,c>0$,求证:
(1)$\dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})\geqslant \dfrac{a+b}{1+ab}$;
(2)$\dfrac{1}{3}(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})\geqslant \dfrac{a+b+c}{2+abc}$;
(3)推广呢?

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