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[函数] 函数问题$f(x)=(a+b)^x-a^x-b^x$

若$a>0,b>0,f(x)=(a+b)^x-a^x-b^x,x\inR^+$,如何证明当$0<x<1$时,$f(x)<0$,而当$x\geqslant 1$时,$f(x)\geqslant 0$,没有出处,是自己突然根据勾股定理想起来的,大家能给出初等的证明吗?
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怎么看着像贝努利不等式?

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回复 3# isee

没有啦,就是当时想离散的能用二项式定理证明,但是无理数的时候应该用函数处理,但是导数没找到出路

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回复 2# kuing


天哪,一直想用导数处理,没想到这么简单,惭愧!

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回复 2# kuing

这一看真是极简。学习了。


太像二项式展开式的一般情况下展开,然后丢一些项。。

这估计就是楼主数学分析方向?

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极其简单:
当 `0<x<1` 时
\[\left(\frac a{a+b}\right)^x+\left(\frac b{a+b}\right)^x>\frac a{a+b}+\frac b{a+b}=1,\]

\[(a+b)^x<a^x+b^x;\]
当 `x\geqslant1` 时
\[\left(\frac a{a+b}\right)^x+\left(\frac b{a+b}\right)^x\leqslant\frac a{a+b}+\frac b{a+b}=1,\]

\[(a+b)^x\geqslant a^x+b^x.\]

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