Infinity

回复 1# 依然饭太稀
如果用积分的几何意义，可以一步到位。因为\[\frac{\ln n}{(2n-1)(2n+1)}\require{cancel}\bcancel{<}\frac{\ln n}{4n^2}\]故只需证明\[\require{cancel}\bcancel{\sum_{n\geqslant 2}\frac{\ln n}{n^2}<1}\]因为$f(x)=\frac{\ln x}{x^2}$在$[2,+\infty)$上单调递减且为（下）凸函数，故x轴从2到n各单位长度为底的矩形面积之和小于1到n积分面积之和，即\[\sum_{n\geqslant 2}\frac{\ln n}{n^2}<1-\frac{1}{n}-\frac{\ln n}{n}<1\]

Infinity

回复 7# kuing

嗯，上面计算有误，应该是：
当$n=2$时，$\ln 2<\ln e=1<\frac{3\times 5}{4}$也即$\frac{\ln 2}{3\times 5}<\frac{1}{4}$成立。
考虑$n\geqslant 3$时，有以下不等式成立\[\frac{\ln n}{(2n-1)(2n+1)}\leqslant \frac{36}{35}\frac{\ln n}{4n^2}\]因此只需证明\[\sum_{n\geqslant 3}\frac{\ln n}{n^2}<\frac{35}{36}\]用5楼类几何方法可知\[\sum_{n\geqslant 3}\frac{\ln n}{n^2}<\int_2^n\frac{\ln x}{x^2}\mathrm d x=\frac{1+\ln 2}{2}-\frac{\ln n}{n}-\frac 1n\]由于$\ln 2\approx0.693$，故\[\frac{1+\ln 2}{2}<\frac{35}{36}\]综上可知，原不等式成立。

Infinity

嗯嗯，是的，马虎了~

Infinity

回复 12# isee

太松了，右端至少不能是常数。否则左端有限项求和总能让右端足够大。