[不等式] │asinx+b│的最大值

realnumber

存在实数a,b,c,对任意x有$\abs{a\cos^2{x}+b\sin{x}+c}\le 2 $恒成立,求$\abs{a\sin{x}+b}$的最大值.

kuing

还是熟悉的套路啊……

显然
\[\max_{x\inR}\abs{a\sin x+b}=\max\{\abs{a+b},\abs{a-b}\},\]
设 `f(x)=a\cos^2x+b\sin x+c`，有
\begin{align*}
\abs{a+b}&=\left| f(0)-f\left( -\frac\pi2 \right) \right|\leqslant\abs{f(0)}+\left| f\left( -\frac\pi2 \right) \right|\leqslant4,\\
\abs{a-b}&=\left| f(0)-f\left( \frac\pi2 \right) \right|\leqslant\abs{f(0)}+\left| f\left( \frac\pi2 \right) \right|\leqslant4,
\end{align*}
从而
\[\max_{x\inR}\abs{a\sin x+b}\leqslant4,\]
易见当 `a=4`, `b=0`, `c=-2` 时满足题意且使上式取等，所以所求最大值就是 `4`。

游客

a=±4,b=0.

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2018-5-11 09:21

其妙

果然是那绝对值的取点放缩套路

敬畏数学

套路。