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[数列] 递推数列

如图,
数列通项公式.png
2018-5-9 23:00
另外,系统讲解数列通项(高考范围外的,非常规的)的资料有没有?很多资料只是零散地谈到一些方法,比如特征根法,而且来龙去脉没有讲透。
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第一个令 `a_n=2\cos b_n`;

第二个从递推式中解出 `a_{n+1}` 后再令 `a_n=\tan b_n`。

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回复 2# kuing
感谢!有系统讲解递推数列的参考文献吗?求推荐学习。

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了解特征根法已经足够,超过这个范围比如函数不动点理论、母函数(生成函数)需要拓扑学、组合数学、数学分析等知识。

来龙去脉指的是什么?如果指的是线性递推方程特征根法是怎么来的,有两种方式理解:
1. 线性方程通解是基础解系线性组合加上非齐次特解构成
齐次线性差分方程有形式为$cr^n$基本解,代入方程后得到关于$r$的多项式方程,即特征方程,其根为特征根。

2. 矩阵的特征方程
高阶线性递推关系都可以写为一阶线性矩阵差分方程(可视为向量数列的等比数列,只不过这个公比是一个矩阵),求解该方程需要对角化解耦,系数矩阵的对角化需要求其特征方程,这个特征方程就是上面的特征方程,具体参见矩阵的特征值。

另外需要注意的是,任意数列通项并不总有初等函数形式;对于那些有初等表达的,其通项表达式也不一定唯一。

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