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[函数] 也解一类二次函数绝对值(应试)

本帖最后由 isee 于 2018-5-2 18:00 编辑

引起好奇的是浙江省赛第14题不等式8楼,而我帖的22楼的资料例1并没有解完,没给出这个$b$是多少,我就更心痒了。

题干:$g(x)=4x^2+ax+b,a,b\in \mathrm R,\forall x\in [1,2],\abs{g(x)}\leqslant \frac 12$,求b.
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你题目打错了,是 ax,不是 at

这是绝对值二次函数里最平凡的啊,取端点和中点就行了
`2\ge |g(1)|+2|g(3/2)|+|g(2)|\ge |g(1)-2g(3/2)+g(2)|=2`
下略

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存在a还是应该说下的,而不是任意的a.
给出一个参数,靠上下文去猜,好多题目都这样,觉得不好

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本帖最后由 realnumber 于 2018-5-2 17:56 编辑

b的答案为什么不是a的函数呢?理解为给定实数a

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本帖最后由 isee 于 2018-5-2 18:05 编辑

咋一看,觉得有点奇怪,满足题设中的b最后是一个定值!或者说只有一个值。

不论怎样,先把绝对值脱了再说。
$$-\frac 12\leqslant 4x^2+ax+b\leqslant\frac 12.$$
我首先想到的是二次函数的最值讨论,不过,对二次函数零点及最值的讨论,我喜欢分参,试下
$$-4x^2-\frac 12\leqslant ax+b\leqslant-4x^2+\frac 12.$$
不等式串,中间是关于x的直线,而两端仅是一个二次函数一部分图象的平移而已,第一感觉就是切,或者弦。

求下过$(1,-3.5),(2,-15.5)$这两点的直线看看$$y+3.5=-12(x-1)\Rightarrow y=-12x+8.5.$$

对二次函数图象是极熟悉的,上面所求的直线应该就是$y=-4x^2-\frac 12$的切线,否则b就是范围了。


$$y'=-8x=-12,\Rightarrow x=1.5,$$
此时$y=-4x^2-\frac 12$上的点$(1.5,-9.5)$正好亦在直线$y=-12x+8.5$上。

这就说明$$b=8.5.$$

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回复 3# realnumber

这里没关系啊,因为满足条件的 a, b 都是唯一的。
了解切比雪夫多项式的话,一眼就知道是怎么一回事。

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存在a还是应该说下的,而不是任意的a.
给出一个参数,靠上下文去猜,好多题目都这样,觉得不好 ...
realnumber 发表于 2018-5-2 17:51


浙江省金丽衢十二校2016届高三第二次联考数学(理) ,第15题。
学生都写心得了,说明浙江这类题十分盛行!

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你题目打错了,是 ax,不是 at

这是绝对值二次函数里最平凡的啊,取端点和中点就行了
`2\ge |g(1)|+2|g(3/ ...
kuing 发表于 2018-5-2 17:48


你的这套,和游客那套,我学不会,实在笨,没办法,也不是不愿意,是临场想不到构造(你的),也说不清(游客的)

我的理解中,是切线恰好是中点而已。

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本帖最后由 isee 于 2018-5-3 18:39 编辑

8楼提到的题:

题干:$a\in \mathrm R,$且对任意实数$b$均有$x\in[0,1],\max{\abs{x^2+ax+b}}\geqslant 1,$求$a$的范围.

解这种题在论坛混过,基本都被k带坏了。就是链接楼中的标答2(第12题)。

下面试下去绝对值,固定二次函数,让直线任意试试。

复杂多了,至少想不到好的出路,这个二次函数绝对值的最大值不小于1,若去绝对值硬求,根本不是分参,所以,去绝对值分类的想法,此题难以下继。

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8楼提到的题:

题干:$a,b\in \mathrm R,\forall x\in[0,1],\max{\abs{x^2+ax+b}}\geqslant 1,$求$a$的范 ...
isee 发表于 2018-5-2 18:11

这样写题干是有问题的,b的任意性必须强调,不要随便省略关键词。

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回复 10# kuing

已改

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本帖最后由 游客 于 2018-5-3 10:57 编辑

回复 1# isee

未命名1.PNG
2018-5-3 10:47


(这个对于二次函数好用,直接分类讨论也一样道理,
对于一般函数而言,觉得K的切线法好用点.)

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回复 9# isee


    分类讨论能肯定能的,就是在后期处理不等式的时候比较麻烦,若用线性规划图解处理,要考虑新的抛物线及其切线。

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还是套路得人心呀

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套路。有点困啊。

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