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[函数] 求所有的多项式f(x),使得f($x^2$)=f(x)f(x+1)

本帖最后由 realnumber 于 2018-4-25 19:00 编辑

暂时找到f(x)=0,f(x)=1,$f(x)=(x(x-1))^n$,
最高次系数看来为1,这个显然.f(x)=0实数根有的话,如果有负的,那么等式两边实数根的个数就不一样的,重根按重数计。
f(x)=0的最大零点设为a,那么f($x^2$)的零点最大为$\sqrt{a}$,由等式得到$a=\sqrt{a}$,类似最小正根也为1.
虚数根怎么考虑?想不清楚了,虚根对应着复平面上的点,开方是辐角减半,f(x)=0,f(x+1)=0的虚根依然是平移,..这样糊涂了
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本帖最后由 realnumber 于 2018-4-25 20:12 编辑

回复 2# kuing
1楼已经否定了f(x)=0有负实数根。
想明白了,虚根是没有的,由等式说明f(x)=0的虚根开方后一半仍为f(x)=0的虚根,说明这些虚根的模为1,模为1的虚根往左平移1个单位后的模仍为1,则这个虚根只能为$z_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$或$z_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$,但这两个虚根开方后都不再出现$z_1,z_2$因此,f(x)=0,没有虚根.
这样1楼是全部解了

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谢了k,我会看看,好像与我的办法不一样

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2楼链接里的帖子的1楼也可以这个办法去分析

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这一组题均是竞赛的感觉。。。

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是的,偶而去感受了下一中的竞赛课,就把几题发上来了

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感觉那些答案都没整理过,写得不简捷。
关注到零点的个数有限和零点的构造,思路基本就有了。
思路的关键词:常数函数,有限零点,零点的模不变,零点迭代。

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