[函数] 2016年全国1卷压轴题的变式

guanmo1

2018-4-24 23:07

kuing

你有没有抄错啊？怎么变式反而更简单无趣？而且已经完全不是漂移那回事了。

（I）设
\[g(x)=\frac{x-2}{x-1}e^x,\]
则等价于 `g(x)=-a` 有两解，求导知 `g(x)` 在 `(-\infty,1)` 和 `(1,+\infty)` 上均递增，显然 `x\to-\infty` 时 `g(x)\to0^+`，`x\to1^-` 时 `g(x)\to+\infty`，`x\to1^+` 时 `g(x)\to-\infty`，`x\to+\infty` 时 `g(x)\to+\infty`，所以有两解等价于 `-a>0`，即 `a<0`；

（II）由（I）的分析知 `x_1`, `x_2` 必然分居在 `g(x)` 的两个递增区间内，所以 `(x_1-1)(x_2-1)<0`，瞬间得到更强命题 `x_1x_2+1<x_1+x_2`。

看，多无趣。

isee

回复 2# kuing

2016年全国卷I后项是`(x-1)^2`，且主楼的这个题 曾经 在论坛里出现过（——找到了，不太相同——），求的结论是否相同，却忘记了。